خريطة خطوط التسوية

منحنى المستوى، أو خط التسوية، للدالة $f(x, y)$ هو مجموعة النقاط التي تأخذ فيها $f$ قيمة واحدة $c$. على السطح $z = f(x, y)$، هذه هي النقاط الواقعة عند الارتفاع $c$. ترسم خريطة خطوط التسوية على الأرض منحنيات مستويات تفصل ارتفاعاتها فواصل متساوية، كما تُظهر الخريطة الطبوغرافية التلال.

يُرسم السطح كالزجاج فوق خريطة مربعة، بمقياس واحد للمحاور الثلاثة، وتوضع خريطة خطوط تسويته على الأرض تحته. ارفع الماء إلى $c$ فتغمر المياه كل نقطة أدنى من $c$. خط الساحل المرسوم بالأزرق على السطح والخريطة هو منحنى المستوى $f = c$؛ لذا فخريطة التسوية مجموعة من خطوط الساحل. الماء هنا عتبة ارتفاع، لا محاكاة لفيضان: الحفرة البعيدة عن أي ماء آخر تصبح بحيرة فور أن يكون قاعها أدنى من $c$.

مع ارتفاع $c$، يتحرك الساحل ويغير شكله غالبًا فحسب. داخل الخريطة لا تتغير طريقة اتصاله إلا عند ارتفاعات النقاط الحرجة، حيث $\nabla f = 0$، وعند رأس المخروط حيث لا يوجد تدرّج أصلًا. تظهر بحيرة فوق قاع الحفرة بقليل. وعند ممر، أو نقطة سرج، يلتقي ساحلان أو تنقسم جزيرة إلى اثنتين. وعند قمة تنكمش الجزيرة إلى نقطة وتختفي. تحدّد المسطرة بجوار العرض هذه الارتفاعات.

الخريطة نافذة على تضاريس أوسع، لذا تعدّ الصفحة البحيرات والجزر التي تبقى داخلها بالكامل فقط. الماء الذي يبلغ الحافة بحر مفتوح، واليابسة التي تبلغها أرض قارية. لذلك قد تتغير الأعداد أيضًا حيث يلتقي الساحل بحافة الخريطة. تحدّد المسطرة هذه الارتفاعات بشرطة متقطعة بلا رمز.

منحنى المستوى المار بنقطة سرج يتقاطع مع نفسه عندها. على السرج $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$ يكون منحنى المستوى $f = 0$ زوج المستقيمين $y = \pm x$. دون ⁦0⁩ يقع الماء في واديين، وعند ⁦0⁩ يتلامس الساحلان عند السرج، وفوق ⁦0⁩ يتصل الماء في منطقة واحدة. لا تلتقي خطوط الارتفاعات المختلفة أبدًا، لأن لكل نقطة ارتفاعًا واحدًا فقط.

يختلف ارتفاع خطين متجاورين بمقدار $\Delta c$، لذا حيث يتقاربان ترتفع الأرض بمقدار $\Delta c$ خلال مسافة قصيرة. وعندما $\nabla f \ne 0$ وتكون الخطوط المتجاورة متقاربة، يكون الفاصل المقاس عموديًا عليها تقريبًا

ترسم نافذة المقطع الطولي الارتفاع على مسار من ⁦A⁩ إلى ⁦B⁩ بمقياس واحد للمحورين، وتضع علامة عند كل خط تسوية يقطعه المسار، وتلوّن أشد نقطة انحدارًا بالأصفر. على جزء يواصل فيه المسار الصعود أو الهبوط، تعني العلامات المتقاربة مقطعًا أشد انحدارًا.

لا تُبيّن الخطوط وحدها اتجاه الصعود. في $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$ تتشابه الحلقات حول $(1, 0)$ و$(-1, 0)$، لكن إحداهما تحيط بتل والأخرى بحفرة. تحتاج الخريطة إلى كتابة الارتفاعات، أو إلى قرينة أخرى كالماء.