Höhenlinienkarte

Eine Niveaulinie, auch Höhenlinie genannt, einer Funktion $f(x, y)$ ist die Menge der Punkte, an denen $f$ einen bestimmten Wert $c$ annimmt. Auf der Fläche $z = f(x, y)$ sind dies die Punkte auf Höhe $c$. Eine Höhenlinienkarte zeichnet Niveaulinien in gleichen Höhenabständen auf den Boden, so wie eine topografische Karte Hügel darstellt.

Die Fläche ist wie Glas über einer quadratischen Karte gezeichnet, mit gleichem Maßstab auf allen drei Achsen. Ihre Höhenlinien liegen auf dem Boden darunter. Hebe das Wasser auf Höhe $c$, und jeder Punkt unterhalb von $c$ liegt unter Wasser. Das auf der Fläche und auf der Karte blau gezeichnete Ufer ist die Niveaulinie $f = c$. Eine Höhenlinienkarte überlagert also Uferlinien verschiedener Wasserstände. Das Wasser stellt einen Schwellenwert dar, keine Überflutung: Eine Senke fernab jedes anderen Gewässers ist bereits ein See, sobald ihr Boden unter $c$ liegt.

Wenn $c$ steigt, verschiebt und verformt sich das Ufer meistens nur. Im Inneren der Karte ändert sich sein Zusammenhang ausschließlich auf den Höhen kritischer Punkte, an denen $\nabla f = 0$ gilt, und an der Kegelspitze, wo überhaupt kein Gradient existiert. Knapp über dem Boden einer Senke entsteht ein See. An einem Pass oder Sattelpunkt treffen sich zwei Ufer, oder eine Insel teilt sich in zwei. An einem Gipfel schrumpft eine Insel zu einem Punkt und verschwindet. Die Skala neben der Ansicht markiert diese Höhen.

Die Karte ist ein Ausschnitt aus einer größeren Landschaft. Daher zählt die Seite nur Seen und Inseln, die vollständig darin liegen. Wasser, das den Rand erreicht, gilt als offenes Meer, Land am Rand als Festland. Die Anzahlen können sich deshalb auch dort ändern, wo das Ufer den Rand berührt. Die Skala markiert diese Höhen mit einem gestrichelten Strich ohne Symbol.

Eine Niveaulinie durch einen Sattelpunkt kreuzt sich dort selbst. Auf der Sattelfläche $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$ besteht die Niveaulinie $f = 0$ aus den beiden Geraden $y = \pm x$. Unterhalb von 0 liegt das Wasser in zwei Tälern, bei 0 berühren sich ihre Ufer am Sattelpunkt, und oberhalb von 0 bildet es eine zusammenhängende Wasserfläche. Höhenlinien unterschiedlicher Höhe treffen sich nie, denn jeder Punkt hat nur eine Höhe.

Benachbarte Höhenlinien unterscheiden sich in der Höhe um $\Delta c$. Wo sie dicht liegen, steigt der Boden daher auf kurzer Strecke um $\Delta c$ an. Wenn $\nabla f \ne 0$ gilt und benachbarte Höhenlinien dicht liegen, beträgt der senkrecht zu ihnen gemessene Abstand ungefähr

Das Fenster Profil zeichnet die Höhe entlang einer Strecke von A nach B mit gleichem Maßstab auf beiden Achsen. Jede gekreuzte Höhenlinie erhält einen Markierungsstrich, der steilste Punkt erscheint gelb. Auf einem durchgehend steigenden oder fallenden Streckenabschnitt bedeuten dichtere Striche ein steileres Profil.

Die Linien allein zeigen nicht, in welche Richtung es bergauf geht. Auf $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$ haben die Ringe um $(1, 0)$ und $(-1, 0)$ dieselbe Form, doch einer umgibt einen Hügel, der andere eine Senke. Eine Karte braucht eingetragene Höhen oder einen anderen Hinweis wie das Wasser.