Mappa delle curve di livello

Una curva di livello di una funzione $f(x, y)$ è l’insieme dei punti in cui $f$ assume uno stesso valore $c$. Sulla superficie $z = f(x, y)$ sono i punti alla quota $c$. Una mappa delle curve di livello disegna sul suolo le curve corrispondenti a quote equidistanti, come una mappa topografica rappresenta le colline.

La superficie è rappresentata come vetro sopra una mappa quadrata, con la stessa scala sui tre assi, e la sua mappa delle curve di livello si trova sul suolo. Alza l’acqua alla quota $c$ e ogni punto più basso di $c$ viene sommerso. La riva, tracciata in blu sulla superficie e sulla mappa, è la curva di livello $f = c$: una mappa delle curve di livello è dunque una pila di rive. L’acqua rappresenta una soglia, non un’inondazione: una conca lontana da ogni altra distesa d’acqua è già un lago appena il suo fondo si trova sotto $c$.

All’aumentare di $c$, la riva per lo più si sposta e cambia forma. All’interno della mappa, i suoi collegamenti cambiano solo alle quote dei punti critici, dove $\nabla f = 0$, e alla punta del cono, dove il gradiente non esiste. Appena sopra il fondo di una conca compare un lago. A un passo, o punto di sella, due rive si incontrano oppure un’isola si divide in due. A una cima, un’isola si riduce a un punto e scompare. Il righello accanto alla vista indica queste quote.

La mappa è una finestra su un paesaggio più ampio, quindi la pagina conta solo laghi e isole interamente al suo interno. L’acqua che raggiunge il bordo è mare aperto, e la terra che lo raggiunge è terraferma. I conteggi possono quindi cambiare anche dove la riva incontra il bordo. Il righello indica quelle quote con una tacca tratteggiata e senza simbolo.

Una curva di livello che passa per un punto di sella interseca sé stessa in quel punto. Sulla sella $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$, la curva di livello $f = 0$ è la coppia di rette $y = \pm x$. Sotto 0, l’acqua occupa due valli; a 0, le rive si toccano al punto di sella; sopra 0, l’acqua forma un’unica distesa. Curve a quote diverse non si incontrano mai, perché ogni punto ha una sola quota.

Due curve vicine differiscono in quota di $\Delta c$, quindi dove sono ravvicinate il terreno sale di $\Delta c$ in poca distanza. Dove $\nabla f \ne 0$ e le curve vicine sono ravvicinate, la distanza misurata perpendicolarmente alle curve vale circa

La finestra Profilo traccia la quota lungo un percorso da A a B con la stessa scala su entrambi gli assi, una tacca a ogni curva di livello attraversata e il punto più ripido in giallo. Su un tratto in cui il percorso continua a salire o a scendere, tacche più vicine indicano un profilo più ripido.

Le sole linee non dicono da che parte si sale. Su $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$, gli anelli intorno a $(1, 0)$ e $(-1, 0)$ hanno la stessa forma, ma uno circonda una collina e l’altro una conca. Una mappa deve riportare le quote, oppure un altro indizio come l’acqua.