二阶偏导数判别法

在函数$f(x, y)$的临界点P，两个一阶偏导数都等于0，切平面是水平的。二阶偏导数判别法用二阶导数$A = f_{xx}$、$B = f_{xy}$、$C = f_{yy}$组成判别式$D = AC - B^2$，也就是黑塞矩阵的行列式，由它判断这是什么样的点。若f在P附近有连续的二阶偏导数，则：

页面用过临界点P的竖直切片，沿任意方向θ切开一个曲面。这个曲面可以是二阶导数由你设定的二次型，也可以是另外几个函数之一。切口在P处弯得多厉害，就是沿这个方向的二阶导数$f_{uu}$。P周围的罗盘上，切片向上弯的方向涂满，向下弯的方向画斜线。判别法说的，其实是所有这些切片合在一起的情形。

θ转过半圈，弯曲程度绕着中线$m = \tfrac12(A + C)$走完一整个波，振幅是s，画在小图里。波的最高值$\lambda_1 = m + s$和最低值$\lambda_2 = m - s$出现在两个互相垂直的方向上，它们就是黑塞矩阵的特征值。乘开来得$D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$。所以$D > 0$意味着波碰不到0。每个切片都朝同一边弯，P是极小值点或极大值点。这时随便看一个切片就知道是哪一种，$f_{xx}$不过是沿x方向的弯曲。$D < 0$意味着波穿过0：有的切片向上弯，有的向下弯，P是鞍点。

所以光有$f_{xx} > 0$和$f_{yy} > 0$还不够。交叉项$f_{xy}$把波峰从坐标轴转开，让波变高，中线却不动。$|f_{xy}|$大到一定程度，沿对角线的切片就会向下弯，尽管两条轴上的切片都向上弯，碗也就变成了鞍。

$D < 0$时，恰好有两个方向的弯曲为0，就是波穿过0的地方，罗盘把它们画成横过圆盘的直线。它们是过P的那条等高线的切线，等高线在P处和自己相交。这就是鞍点在等高线图上画出的X形。

$D = 0$时，波碰到0或者整条落在0上，所以在某个方向上二阶项为0，判别法说不准。$x^2 - y^4$和$x^2 + y^4$在原点的二阶导数完全相同，但沿y方向，前者像$-t^4$那样下降，后者像$t^4$那样上升，一个是鞍点，一个是极小值点。猴鞍$x^3 - 3xy^2$在原点的二阶导数全是0，曲面朝三个方向上升，朝另外三个方向下降。“判别法无法判断”不等于“没有极值”。

在临界点，一阶项都是0，所以在P附近，函数很接近它的二阶泰勒多项式，也就是f(P)加上一个二次型。“二次近似”把它画在圆盘上。$D > 0$时，离P足够近的地方，二次项在每个方向上都压得过余项，所以P和二次近似一样，是极小值点或极大值点。$D < 0$时，在二次项向上弯和向下弯的那些方向上，它仍然压得过余项，于是f沿一些方向上升、沿另一些方向下降：P是鞍点。