مضاعف لاغرانج

المطلوب هو إيجاد أكبر قيمة أو أصغر قيمة للدالة $f(x, y)$ حين لا تكون النقطة حرة، بل يجب أن تبقى على منحنى القيد $g(x, y) = c$. وتحدد طريقة مضاعفات لاغرانج مواضع البحث. لنفترض أن للدالتين $f$ و$g$ مشتقات جزئية أولى متصلة قرب نقطة P على المنحنى، وأن للدالة $f$ عند تقييدها بالمنحنى قيمة عظمى أو صغرى محلية عند P، وأن $\nabla g(P) \neq 0$. عندئذ يوجد عدد $\lambda$، يسمى مضاعف لاغرانج، بحيث

هذه ثلاث معادلات للمجاهيل ⁦x⁩ و⁦y⁩ و$\lambda$. حلولها نقاط مرشحة وليست إجابات نهائية: يجب فحص كل منها، ودراسة النقاط التي تحقق $\nabla g = 0$ على حدة.

تعرض الخريطة خطوط تساوي $f$ ومنحنى القيد بخط سميك والنقطة P عليه. عند P يمثل السهم الأزرق المتجه $\nabla f$، ويبين السهم المفرغ اتجاه $\nabla g$، وينقسم $\nabla f$ إلى مركبة صفراء على طول المنحنى ومركبة متقطعة عمودية عليه. أسفل الخريطة، يرسم المقطع $f$ مقابل المسافة المقطوعة على طول المنحنى.

لماذا تنجح الطريقة؟ لا تتغير $g$ على طول المنحنى، لذا يكون متجه المماس الوحدي $T$ عموديًا على $\nabla g$. عند السير على المنحنى بسرعة مقدارها وحدة واحدة، تتغير $f$ بمعدل $\nabla f\cdot T$، وهو ميل المقطع عند P، ويمثل السهم الأصفر $(\nabla f\cdot T)\,T$. عند أعلى نقطة أو أدناها في المقطع حيث $\nabla g \neq 0$، يكون هذا الميل صفرًا، فلا تكون لـ$\nabla f$ مركبة على طول المنحنى. في المستوى، أي متجه بهذه الصفة هو مضاعف لـ$\nabla g$، لذا $\nabla f = \lambda\nabla g$، وتكون $\lambda = 0$ إذا كان $\nabla f = 0$. وحيثما كان السهم الأصفر غير صفري، فإن السير في اتجاهه يواصل رفع $f$، فلا يمكن أن تكون P نقطة قيمة عظمى أو صغرى هناك.

إذا تحقق أيضًا $\nabla f(P) \neq 0$، فإن خط تساوي $f$ المار بالنقطة P يكون عموديًا على $\nabla f$، فيشترك مع منحنى القيد في المماس. عند قيمة عظمى أو صغرى مقيّدة، يلامس منحنى القيد خط تساوٍ بدلًا من قطعه.

لـ$\lambda$ معنى خاص بها. لنرمز إلى القيمة المثلى على المنحنى $g = c$ بالرمز $f^*(c)$. إذا تحركت نقطة تحقق هذه القيمة بسلاسة مع تغيّر $c$، فإن $\lambda$ هو معدل تغيّر القيمة المثلى:

على الدائرة $x^2 + y^2 = c$، أكبر قيمة لـ$xy$ هي $c/2$، وتكون $\lambda = 1/2$ عند نقطتي القيمة العظمى. ترسم نافذة ⁦λ⁩ القيمة $f^*$ مقابل $c$ بهذا الميل. يعتمد المعدل على صيغة كتابة القيد. عند كتابته بصيغة $2g = C$ حيث $C = 2c$، يصبح مضاعف المنحنى نفسه نصف قيمته، لأنه يقيس الآن التغيّر لكل وحدة من C. يوضح خيار اكتب القيد بصيغة ⁦2g⁩ ذلك.

يبين منحنيان حدود الطريقة. على $y - x^3 = c$، يكون تدرج الدالة $f = y$ وتدرج القيد متوازيين عند $(0, c)$، لكن $f = x^3 + c$ على طول المنحنى تستوي لحظة عندها ثم تواصل الارتفاع. توازي التدرجين وحده لا يكفي. على $y^2 - x^3 = 0$، تتحقق أصغر قيمة لـ$f = x$ عند النقطة المدببة $(0, 0)$، حيث $\nabla g = (0, 0)$ ولا حل للمعادلة $\nabla f = \lambda\nabla g$. تفوّت الطريقة هذه النقطة، لذا يجب فحص مثل هذه النقاط على حدة.

يبين المقطع ما إذا كانت النقطة المرشحة نقطة قيمة عظمى أو صغرى أو لا هذه ولا تلك. فهو يصعد ثم يهبط عند قيمة عظمى محلية على المنحنى، ويهبط ثم يصعد عند قيمة صغرى محلية، أما عند النقطة المرشحة للمنحنى التكعيبي فيواصل الصعود.