الميل

يقيس الميل مدى انحدار الخط. خذ نقطتين عليه تختلف إحداثياتهما ⁦$x$⁩، هما ⁦$P(x_1, y_1)$⁩ و⁦$Q(x_2, y_2)$⁩. من P إلى Q يكون التغير الرأسي ⁦$\Delta y = y_2 - y_1$⁩ والتغير الأفقي ⁦$\Delta x = x_2 - x_1$⁩. والميل هو التغير الرأسي مقسومًا على الأفقي:

يُرمز للميل عادة بـ⁦$m$⁩، ويشيع أيضًا ⁦$k$⁩. في معادلة الخط غير الرأسي ⁦$y = mx + b$⁩، يكون ⁦$m$⁩ ميله. هنا يمثل التغير الأفقي والرأسي ضلعي الزاوية القائمة في مثلث، ويحسب العرض نسبتهما من الإحداثيات. توضح خطوة مقدارها 1 إلى اليمين العدد نفسه كمعدل تغير: يرتفع الخط بمقدار ⁦$m$⁩ لكل وحدة أفقية، أو يهبط عندما يكون ⁦$m$⁩ سالبًا.

على خط ليس رأسيًا ولا أفقيًا، تتساوى زوايا المثلثات المبنية من التغير الأفقي والرأسي بين نقطتين عليه: أضلاعها الأفقية متوازية، والرأسية متوازية، وأوتارها تقع على الخط نفسه. إذن المثلثات متشابهة وأضلاع الزاوية القائمة متناسبة: ⁦$|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$⁩. وتتفق الإشارات أيضًا، لأن النسبتين موجبتان على خط صاعد وسالبتان على خط هابط: ⁦$\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$⁩. إذا ضاعفت المسافة الأفقية تضاعف التغير الرأسي. الميل خاصية للخط، لا للنقطتين اللتين اخترتهما. على الخط الأفقي يكون كل تغير رأسي 0، فكل نسبة تساوي 0. السير من Q إلى P يعكس إشارتي ⁦$\Delta x$⁩ و⁦$\Delta y$⁩ معًا، فلا يغير النسبة؛ وإزاحة الخط كله إلى أعلى أو أسفل لا تغير أيًا من الفرقين.

للخط الصاعد من اليسار إلى اليمين ميل موجب، وللهابط ميل سالب، وللأفقي ميل 0. كلما كبرت ⁦$|m|$⁩ ازداد انحدار الخط.

على الخط الرأسي ⁦$\Delta x = 0$⁩، فلا يمكن تكوين نسبة التغير الرأسي إلى الأفقي: ميله غير معرّف. وليس لا نهائيًا أيضًا. أدر خطًا نحو الوضع الرأسي من جهة، فيتجاوز ميله أي عدد؛ ومن الجهة الأخرى ينخفض عن أي عدد سالب. لا توجد قيمة واحدة تناسب الخط الرأسي نفسه. أما تطابق نقطتين فحالة أخرى: لا تحددان خطًا واحدًا أصلًا.

تُقاس زاوية الميل ⁦$\theta$⁩ من اتجاه ⁦$x$⁩ الموجب إلى الخط، بحيث ⁦$0^\circ \le \theta < 180^\circ$⁩. للخط غير الرأسي ⁦$m = \tan\theta$⁩، وللخط الرأسي ⁦$\theta = 90^\circ$⁩، حيث لا تكون دالة الظل معرّفة أيضًا. عندما يتساوى مقياس المحورين، كما هنا، تكون هذه الزاوية التي تراها. الميل والزاوية غير متناسبين: الميل 1 يقابل 45°، والميل 2 يقابل نحو 63.43°. في الرسوم التي تختلف فيها مقاييس المحورين، كما في كثير من رسوم البيانات، تتغير الزاوية المرئية مع المقاييس، بينما لا يتغير الميل المحسوب بوحدات المحورين نفسيهما.