Pente

La pente mesure l’inclinaison d’une droite. Choisissez deux points de la droite ayant des coordonnées $x$ différentes, $P(x_1, y_1)$ et $Q(x_2, y_2)$. De P à Q, la variation verticale vaut $\Delta y = y_2 - y_1$ et la variation horizontale vaut $\Delta x = x_2 - x_1$. La pente est le quotient de la première par la seconde :

La pente se note souvent $m$ ; $k$ est également courant. Dans l’équation $y = mx + b$ d’une droite non verticale, $m$ est sa pente. Ici, les déplacements horizontal et vertical sont les deux côtés de l’angle droit d’un triangle, et l’affichage calcule leur rapport à partir des coordonnées. Un pas de 1 vers la droite montre le même nombre comme un taux : la droite monte de $m$ pour chaque unité horizontale, ou descend lorsque $m$ est négatif.

Sur une droite ni verticale ni horizontale, les triangles formés par les déplacements horizontal et vertical entre deux points ont les mêmes angles : leurs côtés horizontaux sont parallèles, leurs côtés verticaux aussi, et leurs grands côtés sont sur la même droite. Les triangles sont donc semblables et leurs côtés de l’angle droit sont proportionnels : $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. Les signes concordent également : les deux rapports sont positifs sur une droite qui monte et négatifs sur une droite qui descend, d’où $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. Mesurez deux fois plus loin, la variation verticale double aussi. La pente appartient à la droite, pas à la paire choisie. Sur une droite horizontale, toute variation verticale est nulle, donc chaque rapport vaut 0. Aller de Q à P change le signe de $\Delta x$ et de $\Delta y$, sans modifier leur rapport ; déplacer toute la droite vers le haut ou le bas ne change aucune des deux différences.

Une droite qui monte de gauche à droite a une pente positive, une droite qui descend a une pente négative, et une horizontale a une pente nulle. Plus $|m|$ est grand, plus la droite est inclinée.

Sur une droite verticale, $\Delta x = 0$ : le quotient des variations ne peut pas être calculé. Sa pente est non définie. Elle n’est pas infinie non plus. Faites tourner une droite vers la verticale d’un côté : sa pente dépasse tout nombre positif ; de l’autre, elle devient inférieure à tout nombre négatif. Aucune valeur unique ne convient à la verticale elle-même. Deux points confondus sont un autre cas : ils ne déterminent aucune droite unique.

L’angle d’inclinaison $\theta$ se mesure du sens positif de $x$ vers la droite, avec $0^\circ \le \theta < 180^\circ$. Pour une droite non verticale, $m = \tan\theta$ ; une verticale a $\theta = 90^\circ$, où la tangente n’est pas définie non plus. Avec la même échelle sur les deux axes, comme ici, c’est l’angle que vous voyez. Pente et angle ne sont pas proportionnels : la pente 1 correspond à 45°, la pente 2 à environ 63.43°. Si les axes ont des échelles différentes, comme sur de nombreux graphiques de données, l’angle visible change avec les échelles, mais la pente calculée dans les unités des axes ne change pas.