Declive

O declive mede a inclinação de uma reta. Tome dois pontos da reta com coordenadas $x$ diferentes, $P(x_1, y_1)$ e $Q(x_2, y_2)$. De P a Q, a variação vertical é $\Delta y = y_2 - y_1$ e o deslocamento horizontal é $\Delta x = x_2 - x_1$. O declive é a variação vertical dividida pela horizontal:

O declive costuma escrever-se $m$; também se usa $k$. Na equação $y = mx + b$ de uma reta não vertical, $m$ é o seu declive. Aqui os deslocamentos horizontal e vertical são os catetos de um triângulo retângulo, e a leitura calcula o quociente a partir das coordenadas. Um passo de 1 para a direita mostra o mesmo número como uma taxa: a reta sobe $m$ por cada unidade horizontal, ou desce quando $m$ é negativo.

Numa reta que não é vertical nem horizontal, os triângulos formados pelos deslocamentos horizontal e vertical entre dois pontos têm os mesmos ângulos: os lados horizontais são paralelos, os verticais também, e as hipotenusas estão na mesma reta. Logo, os triângulos são semelhantes e os catetos proporcionais: $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. Os sinais também coincidem, pois ambos os quocientes são positivos numa reta que sobe e negativos numa que desce: $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. Medindo o dobro da distância horizontal, a variação vertical também duplica. O declive pertence à reta, não ao par de pontos escolhido. Numa reta horizontal todas as variações verticais são 0, logo todos os quocientes são 0. Ir de Q a P troca o sinal de $\Delta x$ e de $\Delta y$, mantendo o quociente; mover a reta inteira para cima ou para baixo não altera nenhuma das diferenças.

Uma reta que sobe da esquerda para a direita tem declive positivo, uma que desce tem declive negativo, e uma horizontal tem declive 0. Quanto maior for $|m|$, mais inclinada é a reta.

Numa reta vertical, $\Delta x = 0$, e não se pode formar o quociente das variações: o seu declive não está definido. Também não é infinito. Rodando uma reta para a vertical por um lado, o declive ultrapassa qualquer número; pelo outro, fica abaixo de qualquer número negativo. Nenhum valor único corresponde à própria vertical. Dois pontos coincidentes são um caso diferente: não determinam uma reta única.

O ângulo de inclinação $\theta$ vai do sentido positivo de $x$ até à reta, com $0^\circ \le \theta < 180^\circ$. Numa reta não vertical, $m = \tan\theta$; numa vertical, $\theta = 90^\circ$, onde a tangente também não está definida. Com a mesma escala nos dois eixos, como aqui, este é o ângulo que se vê. Declive e ângulo não são proporcionais: declive 1 corresponde a 45°, declive 2 a cerca de 63.43°. Quando os eixos têm escalas diferentes, como em muitos gráficos de dados, o ângulo visível muda com as escalas, mas o declive, calculado nas unidades dos eixos, não muda.