Eğim

Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ölçer. Doğru üzerinde $x$ koordinatları farklı iki nokta, $P(x_1, y_1)$ ve $Q(x_2, y_2)$, alın. P’den Q’ya düşey değişim $\Delta y = y_2 - y_1$, yatay değişim ise $\Delta x = x_2 - x_1$ olur. Eğim, düşey değişimin yatay değişime bölümüdür:

Eğim genellikle $m$ ile gösterilir; $k$ de yaygındır. Düşey olmayan bir doğrunun $y = mx + b$ denkleminde $m$ eğimdir. Burada yatay ve düşey değişimler bir dik üçgenin dik kenarlarıdır; gösterge oranı koordinatlardan hesaplar. Sağa 1 birimlik adım aynı sayıyı bir değişim hızı olarak gösterir: doğru, yatayda her birim için $m$ kadar yükselir; $m$ negatifse alçalır.

Ne düşey ne de yatay olan bir doğru üzerindeki noktalar arasında kurulan yatay-düşey üçgenlerin açıları aynıdır: yatay kenarlar birbirine, düşey kenarlar da birbirine paraleldir; hipotenüsler aynı doğru üzerindedir. Bu yüzden üçgenler benzerdir ve dik kenarları orantılıdır: $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. İşaretler de uyuşur; yükselen doğruda iki oran da pozitif, alçalan doğruda ikisi de negatiftir: $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. Yatayda iki kat uzağa ölçerseniz düşey değişim de iki kat olur. Eğim, seçtiğiniz nokta çiftine değil doğruya aittir. Yatay doğru üzerindeki her düşey değişim 0’dır, dolayısıyla her oran 0’dır. Q’dan P’ye gitmek hem $\Delta x$ hem $\Delta y$ işaretini değiştirir, oranı değiştirmez. Doğrunun tamamını yukarı veya aşağı taşımak da bu farkları değiştirmez.

Soldan sağa yükselen doğrunun eğimi pozitif, alçalanınki negatif, yatayınki 0’dır. $|m|$ büyüdükçe doğru dikleşir.

Düşey doğruda $\Delta x = 0$ olur ve düşey değişimin yatay değişime oranı oluşturulamaz: düşey doğrunun eğimi tanımsızdır. Sonsuz da değildir. Bir doğruyu bir yandan düşeye yaklaştırdığınızda eğimi her sayıyı aşar; öteki yandan yaklaştırdığınızda her negatif sayının altına iner. Düşey doğrunun kendisine uyan tek bir değer yoktur. Çakışan iki nokta ise farklı bir durumdur: bunlar tek bir doğru belirlemez.

Eğim açısı $\theta$, pozitif $x$ yönünden doğruya doğru ölçülür ve $0^\circ \le \theta < 180^\circ$ aralığındadır. Düşey olmayan doğru için $m = \tan\theta$; düşey doğru için $\theta = 90^\circ$ olur ve burada tanjant da tanımsızdır. Buradaki gibi iki eksenin ölçeği aynıysa gördüğünüz açı budur. Eğim ve açı orantılı değildir: eğim 1 iken açı 45°, eğim 2 iken yaklaşık 63.43° olur. Birçok veri grafiğinde olduğu gibi eksen ölçekleri farklıysa görülen açı ölçeklerle değişir; eksenlerin kendi birimleriyle hesaplanan eğim ise değişmez.