Угловой коэффициент

Угловой коэффициент измеряет крутизну прямой. Возьмите на ней две точки с разными координатами $x$: $P(x_1, y_1)$ и $Q(x_2, y_2)$. От P к Q изменение по вертикали равно $\Delta y = y_2 - y_1$, а изменение по горизонтали — $\Delta x = x_2 - x_1$. Угловой коэффициент — отношение первого ко второму:

Угловой коэффициент обычно обозначают $m$; также часто используют $k$. В уравнении $y = mx + b$ невертикальной прямой её угловой коэффициент — $m$. Здесь изменения по горизонтали и вертикали служат катетами прямоугольного треугольника, а индикатор вычисляет их отношение по координатам. Шаг на 1 вправо показывает то же число как скорость изменения: на каждую горизонтальную единицу прямая поднимается на $m$ или опускается, если $m$ отрицателен.

На прямой, которая не вертикальна и не горизонтальна, треугольники, построенные по горизонтальному и вертикальному изменениям между её точками, имеют одинаковые углы. Их горизонтальные стороны параллельны, вертикальные тоже, а гипотенузы лежат на одной прямой. Поэтому треугольники подобны, а их катеты пропорциональны: $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. Знаки также совпадают: оба отношения положительны на поднимающейся прямой и отрицательны на опускающейся, поэтому $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. При удвоении горизонтального расстояния изменение по вертикали тоже удваивается. Коэффициент принадлежит прямой, а не случайно выбранной паре точек. На горизонтальной прямой любое вертикальное изменение равно 0, поэтому и каждое отношение равно 0. Переход от Q к P меняет знаки и $\Delta x$, и $\Delta y$, но не их отношение. Сдвиг всей прямой вверх или вниз не меняет ни одной разности.

У прямой, поднимающейся слева направо, коэффициент положителен, у опускающейся — отрицателен, у горизонтальной — равен 0. Чем больше $|m|$, тем круче прямая.

На вертикальной прямой $\Delta x = 0$, поэтому отношение изменений построить нельзя: её угловой коэффициент не определён. Он также не равен бесконечности. Если поворачивать прямую к вертикали с одной стороны, коэффициент превысит любое число; с другой — станет меньше любого отрицательного числа. Единого значения для самой вертикали нет. Совпадающие точки — другой случай: они вообще не определяют единственную прямую.

Угол наклона $\theta$ отсчитывается от положительного направления $x$ до прямой, причём $0^\circ \le \theta < 180^\circ$. Для невертикальной прямой $m = \tan\theta$; для вертикальной $\theta = 90^\circ$, и тангенс тоже не определён. При одинаковом масштабе обеих осей, как здесь, это и есть видимый угол. Коэффициент и угол не пропорциональны: коэффициент 1 соответствует 45°, коэффициент 2 — примерно 63.43°. Если масштабы осей различны, как во многих графиках данных, видимый угол зависит от масштабов, а угловой коэффициент, вычисленный в единицах самих осей, не меняется.