기울기

기울기는 직선이 얼마나 가파른지를 나타냅니다. 직선 위에서 $x$좌표가 다른 두 점 $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$를 잡습니다. P에서 Q로 갈 때 세로 변화는 $\Delta y = y_2 - y_1$, 가로 변화는 $\Delta x = x_2 - x_1$입니다. 기울기는 세로 변화를 가로 변화로 나눈 값입니다.

기울기는 보통 $m$로 쓰며, $k$도 흔히 씁니다. 수직이 아닌 직선의 방정식 $y = mx + b$에서 $m$가 기울기입니다. 여기서 가로 변화와 세로 변화는 직각삼각형의 두 직각변이고, 표시창은 좌표에서 그 비율을 계산합니다. 오른쪽으로 1 이동하면 같은 수를 변화율로 볼 수 있습니다. 가로로 한 단위 갈 때 직선은 $m$만큼 올라가며, $m$의 값이 음수이면 내려갑니다.

수직도 수평도 아닌 직선에서 두 점 사이의 가로·세로 변화로 만든 삼각형들은 각이 같습니다. 가로변끼리 평행하고, 세로변끼리 평행하며, 빗변들은 같은 직선에 놓입니다. 따라서 삼각형들은 닮음이고 직각변들은 비례합니다. 즉 $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$입니다. 올라가는 직선에서는 두 비율이 모두 양수이고 내려가는 직선에서는 모두 음수이므로 부호도 일치합니다. 따라서 $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$입니다. 가로로 두 배 멀리 재면 세로 변화도 두 배입니다. 기울기는 우연히 고른 두 점이 아니라 직선 자체의 성질입니다. 수평선에서는 세로 변화가 항상 0이므로 비율도 항상 0입니다. Q에서 P로 가면 $\Delta x$와 $\Delta y$의 부호가 함께 바뀌어 비율은 그대로이고, 직선 전체를 위아래로 옮겨도 두 차이는 변하지 않습니다.

왼쪽에서 오른쪽으로 올라가는 직선의 기울기는 양수, 내려가는 직선은 음수, 수평선은 0입니다. $|m|$의 값이 클수록 직선이 가파릅니다.

수직선에서는 $\Delta x = 0$이므로 세로 변화와 가로 변화의 비율을 만들 수 없습니다. 수직선의 기울기는 정의되지 않습니다. 무한대도 아닙니다. 한쪽에서 직선을 수직에 가깝게 돌리면 기울기는 어떤 수보다도 커지고, 반대쪽에서 돌리면 어떤 음수보다도 작아집니다. 수직선 자체에 맞는 단일 값은 없습니다. 두 점이 겹치는 것은 다른 경우입니다. 이때는 직선 자체가 하나로 정해지지 않습니다.

경사각 $\theta$는 $x$축의 양의 방향에서 직선까지 재며, $0^\circ \le \theta < 180^\circ$ 범위에 있습니다. 수직이 아닌 직선에서는 $m = \tan\theta$이고, 수직선은 $\theta = 90^\circ$여서 탄젠트도 정의되지 않습니다. 여기처럼 두 축의 축척이 같으면 이것이 눈에 보이는 각도입니다. 기울기와 각도는 비례하지 않습니다. 기울기 1은 45°, 기울기 2는 약 63.43°입니다. 많은 데이터 그래프처럼 두 축의 축척이 다르면 눈에 보이는 각도는 축척에 따라 바뀌지만, 각 축의 단위로 계산한 기울기는 바뀌지 않습니다.