傾き

傾きは直線の急さを測るものです。直線上で$x$座標が異なる2点$P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$を取ります。PからQへの縦の変化は$\Delta y = y_2 - y_1$、横の変化は$\Delta x = x_2 - x_1$です。傾きは、縦の変化を横の変化で割った値です：

傾きは通常$m$と書き、$k$もよく使われます。鉛直でない直線の式$y = mx + b$では、$m$が傾きです。ここでは横と縦の変化が直角三角形の2本の直角辺になり、表示欄は座標からその比を計算します。右へ1進むと、同じ数が変化の割合として見えます。横に1単位進むごとに直線は$m$上がり、$m$が負なら下がります。

鉛直でも水平でもない直線では、どの2点の横・縦の変化で作った三角形も角度が同じです。横の辺どうしは平行、縦の辺どうしも平行で、斜辺は同じ直線上にあります。したがって三角形は相似で、直角辺は比例します：$|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$。符号も一致します。上がる直線では両方の比が正、下がる直線では両方が負なので、$\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$です。横に2倍遠くまで測れば、縦の変化も2倍になります。傾きは直線に属する量であり、たまたま選んだ2点に属するものではありません。水平線では縦の変化が常に0なので、比はいつも0です。QからPへ逆に進むと$\Delta x$と$\Delta y$の符号が両方変わり、比は変わりません。直線全体を上下に動かしても、どちらの差も変わりません。

左から右へ上がる直線の傾きは正、下がる直線は負、水平線は0です。$|m|$が大きいほど直線は急になります。

鉛直線では$\Delta x = 0$なので、縦の変化と横の変化の比を作れません。鉛直線の傾きは定義されません。無限大でもありません。片側から直線を鉛直に近づけると、傾きはどんな数よりも大きくなり、反対側から近づけると、どんな負の数よりも小さくなります。鉛直線そのものに合う単一の値はありません。2点が重なる場合は別の話で、そもそも直線が1本に決まりません。

傾斜角$\theta$は、$x$軸の正の向きから直線まで測る角で、$0^\circ \le \theta < 180^\circ$です。鉛直でない直線では$m = \tan\theta$、鉛直線では$\theta = 90^\circ$となり、このとき正接も定義されません。ここでのように両軸の縮尺が同じなら、これが目に見える角度です。傾きと角度は比例しません。傾き1なら45°、傾き2なら約63.43°です。データのグラフなど、両軸の縮尺が異なる場合、目に見える角度は縮尺によって変わりますが、各軸の単位で計算する傾きは変わりません。