Steigung

Die Steigung misst, wie steil eine Gerade ist. Wähle auf ihr zwei Punkte mit verschiedenen $x$-Koordinaten, $P(x_1, y_1)$ und $Q(x_2, y_2)$. Von P nach Q beträgt die Höhenänderung $\Delta y = y_2 - y_1$ und die waagerechte Änderung $\Delta x = x_2 - x_1$. Die Steigung ist die Höhenänderung geteilt durch die waagerechte Änderung:

Die Steigung wird meist als $m$ geschrieben; auch $k$ ist üblich. In der Gleichung $y = mx + b$ einer nicht senkrechten Geraden ist $m$ die Steigung. Hier bilden waagerechte Änderung und Höhenänderung die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Anzeige berechnet ihr Verhältnis aus den Koordinaten. Ein Schritt von 1 nach rechts zeigt dieselbe Zahl als Änderungsrate: Pro waagerechter Einheit geht die Gerade um $m$ nach oben, beziehungsweise nach unten, wenn $m$ negativ ist.

Bei einer weder senkrechten noch waagerechten Geraden haben die Steigungsdreiecke zwischen ihren Punkten dieselben Winkel: Ihre waagerechten Seiten sind parallel, ebenso ihre senkrechten Seiten, und ihre Hypotenusen liegen auf derselben Geraden. Daher sind die Dreiecke ähnlich und ihre Katheten proportional: $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. Auch die Vorzeichen stimmen überein, denn beide Quotienten sind bei einer steigenden Geraden positiv und bei einer fallenden negativ: $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. Misst man doppelt so weit, verdoppelt sich auch die Höhenänderung. Die Steigung gehört zur Geraden, nicht zum zufällig gewählten Punktepaar. Auf einer waagerechten Geraden ist jede Höhenänderung 0, also auch jeder Quotient. Der Weg von Q nach P kehrt die Vorzeichen von $\Delta x$ und $\Delta y$ um, lässt den Quotienten aber gleich. Verschiebt man die gesamte Gerade nach oben oder unten, ändert sich keine der beiden Differenzen.

Eine von links nach rechts steigende Gerade hat positive Steigung, eine fallende negative Steigung, eine waagerechte die Steigung 0. Je größer $|m|$, desto steiler die Gerade.

Auf einer senkrechten Geraden gilt $\Delta x = 0$. Der Quotient aus Höhenänderung und waagerechter Änderung lässt sich nicht bilden: Die Steigung ist nicht definiert. Sie ist auch nicht unendlich. Dreht man eine Gerade von einer Seite zur Senkrechten, wächst ihre Steigung über jede Zahl hinaus; von der anderen Seite fällt sie unter jede negative Zahl. Kein einzelner Wert passt zur Senkrechten selbst. Zusammenfallende Punkte sind ein anderer Fall: Sie legen überhaupt keine eindeutige Gerade fest.

Der Neigungswinkel $\theta$ wird von der positiven $x$-Richtung zur Geraden gemessen, mit $0^\circ \le \theta < 180^\circ$. Für eine nicht senkrechte Gerade gilt $m = \tan\theta$. Bei einer senkrechten gilt $\theta = 90^\circ$, wo auch der Tangens nicht definiert ist. Bei gleichem Maßstab auf beiden Achsen, wie hier, ist das der sichtbare Winkel. Steigung und Winkel sind nicht proportional: Steigung 1 entspricht 45°, Steigung 2 etwa 63.43°. Bei unterschiedlichen Achsenmaßstäben, wie in vielen Datendiagrammen, verändert sich der sichtbare Winkel mit den Maßstäben. Die in den jeweiligen Achseneinheiten berechnete Steigung bleibt dagegen gleich.