Pendenza

La pendenza misura quanto è inclinata una retta. Prendi due punti sulla retta con coordinate $x$ diverse, $P(x_1, y_1)$ e $Q(x_2, y_2)$. Da P a Q, la variazione verticale è $\Delta y = y_2 - y_1$, mentre lo spostamento orizzontale è $\Delta x = x_2 - x_1$. La pendenza è il rapporto tra i due:

La pendenza si indica di solito con $m$; è comune anche $k$. Nell’equazione $y = mx + b$ di una retta non verticale, $m$ è la pendenza. Qui gli spostamenti orizzontale e verticale sono i cateti di un triangolo rettangolo, e il display ne calcola il rapporto dalle coordinate. Un passo di 1 verso destra mostra lo stesso numero come tasso: la retta sale di $m$ per ogni unità orizzontale, oppure scende se $m$ è negativo.

Su una retta né verticale né orizzontale, i triangoli costruiti con gli spostamenti orizzontale e verticale tra due punti hanno gli stessi angoli: i lati orizzontali sono paralleli, quelli verticali pure, e le ipotenuse stanno sulla stessa retta. I triangoli sono quindi simili e i cateti proporzionali: $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. Anche i segni concordano, perché entrambi i rapporti sono positivi su una retta crescente e negativi su una decrescente: $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. Misurando il doppio della distanza orizzontale, anche la variazione verticale raddoppia. La pendenza appartiene alla retta, non alla coppia scelta. Su una retta orizzontale ogni variazione verticale è 0, quindi ogni rapporto è 0. Andare da Q a P cambia il segno sia di $\Delta x$ sia di $\Delta y$, senza cambiare il rapporto; spostare l’intera retta in alto o in basso non cambia nessuna delle due differenze.

Una retta che sale da sinistra a destra ha pendenza positiva, una che scende ha pendenza negativa e una orizzontale ha pendenza 0. Più grande è $|m|$, più la retta è ripida.

Su una retta verticale $\Delta x = 0$, perciò non si può formare il rapporto tra le variazioni: la sua pendenza non è definita. Non è neppure infinita. Ruota una retta verso la verticale da un lato e la pendenza supera qualsiasi numero; dall’altro scende sotto qualsiasi numero negativo. Nessun unico valore corrisponde alla verticale stessa. Due punti coincidenti sono un caso diverso: non determinano affatto una retta unica.

L’angolo di inclinazione $\theta$ va dalla direzione positiva di $x$ alla retta, con $0^\circ \le \theta < 180^\circ$. Per una retta non verticale, $m = \tan\theta$; una verticale ha $\theta = 90^\circ$, dove neppure la tangente è definita. Con la stessa scala sui due assi, come qui, questo è l’angolo che si vede. Pendenza e angolo non sono proporzionali: pendenza 1 significa 45°, pendenza 2 circa 63.43°. Se gli assi hanno scale diverse, come in molti grafici di dati, l’angolo visibile cambia con le scale, mentre la pendenza calcolata nelle unità degli assi non cambia.