斜率

斜率衡量一条直线有多陡。在直线上取横坐标不同的两点$P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$。从P走到Q，竖直方向变了$\Delta y = y_2 - y_1$，水平方向变了$\Delta x = x_2 - x_1$。两者之比就是直线的斜率：

斜率通常记作$m$，也常写成$k$。不竖直的直线写成$y = mx + b$时，$m$就是它的斜率。画面上，水平变化和竖直变化是一个直角三角形的两条直角边，读数从两点的坐标算出这个比。“走1格”换一种读法：向右每走1，直线升高$m$；$m$为负时是下降。

在既不竖直也不水平的直线上任取两点，由水平变化、竖直变化和直线围成的直角三角形，角都相同：水平边互相平行，竖直边互相平行，斜边在同一条直线上。所以这些三角形相似，对应边成比例：$|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$。符号也一致：直线上升时两个比都为正，下降时都为负，所以$\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$。量得远一倍，直线就升高一倍。斜率是直线本身的性质，跟碰巧取了哪两点无关。水平线上竖直变化处处是0，比都是0。从Q走到P，$\Delta x$、$\Delta y$一起变号，比不变；把整条直线上下平移，两个变化都不变。

从左往右上升的直线斜率为正，下降的为负，水平线的斜率是0。$|m|$越大，直线越陡。

竖直线上$\Delta x = 0$，竖直变化除以水平变化做不出来：竖直线的斜率没有定义，也不是无穷大。直线从一边转向竖直，斜率会超过任何给定的数；从另一边转过去，斜率会小于任何给定的负数。没有哪一个数能当竖直线本身的斜率。两点重合是另一回事：一个点定不出直线。

倾斜角$\theta$是从$x$轴正方向转到直线的角，$0^\circ \le \theta < 180^\circ$。不竖直的直线满足$m = \tan\theta$；竖直线的$\theta = 90^\circ$，正切也没有定义。两轴单位长度相同时（本页就是这样），看到的角就是这个角。斜率和倾斜角不成正比：斜率1是45°，斜率2约是63.43°。数据图常常两轴比例不同，这时看到的角随比例而变，按两轴各自的单位算出的斜率不变。