Pendiente

La pendiente mide la inclinación de una recta. Toma dos puntos de la recta con coordenadas $x$ distintas, $P(x_1, y_1)$ y $Q(x_2, y_2)$. De P a Q, el cambio vertical es $\Delta y = y_2 - y_1$ y el desplazamiento horizontal es $\Delta x = x_2 - x_1$. La pendiente es el primero dividido por el segundo:

La pendiente suele escribirse $m$; también es frecuente $k$. En la ecuación $y = mx + b$ de una recta no vertical, $m$ es su pendiente. Aquí los desplazamientos horizontal y vertical son los catetos de un triángulo rectángulo, y la lectura calcula su cociente a partir de las coordenadas. Un paso de 1 a la derecha muestra el mismo número como una tasa: la recta sube $m$ por cada unidad horizontal, o baja si $m$ es negativo.

En una recta que no es vertical ni horizontal, los triángulos formados por los desplazamientos horizontal y vertical entre dos puntos tienen los mismos ángulos: sus lados horizontales son paralelos, sus lados verticales también, y sus hipotenusas están en la misma recta. Por tanto, son semejantes y sus catetos son proporcionales: $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. Los signos también coinciden: ambos cocientes son positivos si la recta sube y negativos si baja, de modo que $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. Al medir el doble de lejos, el cambio vertical también se duplica. La pendiente pertenece a la recta, no al par de puntos elegido. En una horizontal, todo cambio vertical es 0 y todo cociente es 0. Ir de Q a P cambia el signo de $\Delta x$ y de $\Delta y$, sin alterar el cociente; desplazar toda la recta hacia arriba o abajo tampoco cambia ninguna diferencia.

Una recta que sube de izquierda a derecha tiene pendiente positiva; una que baja, negativa; y una horizontal tiene pendiente 0. Cuanto mayor es $|m|$, más inclinada está la recta.

En una recta vertical, $\Delta x = 0$, y no se puede formar el cociente de los cambios: su pendiente no está definida. Tampoco es infinita. Al girar una recta hacia la vertical por un lado, su pendiente supera cualquier número; por el otro, cae por debajo de cualquier número negativo. Ningún valor único corresponde a la propia vertical. Dos puntos coincidentes son otro caso: no determinan una recta única.

El ángulo de inclinación $\theta$ va desde la dirección positiva de $x$ hasta la recta, con $0^\circ \le \theta < 180^\circ$. Para una recta no vertical, $m = \tan\theta$; una vertical tiene $\theta = 90^\circ$, donde la tangente tampoco está definida. Con la misma escala en ambos ejes, como aquí, este es el ángulo que ves. Pendiente y ángulo no son proporcionales: la pendiente 1 corresponde a 45°, y la pendiente 2 a unos 63.43°. Si los ejes tienen escalas distintas, como en muchos gráficos de datos, el ángulo visible cambia con las escalas, mientras que la pendiente, calculada en las unidades de los ejes, no cambia.