Gradien

Gradien mengukur seberapa curam sebuah garis. Ambil dua titik pada garis yang koordinat $x$-nya berbeda, $P(x_1, y_1)$ dan $Q(x_2, y_2)$. Dari P ke Q, perubahan vertikalnya $\Delta y = y_2 - y_1$ dan perubahan horizontalnya $\Delta x = x_2 - x_1$. Gradien adalah perubahan vertikal dibagi horizontal:

Gradien biasanya ditulis $m$; $k$ juga umum. Dalam persamaan $y = mx + b$ untuk garis yang tidak vertikal, $m$ adalah gradiennya. Di sini perubahan horizontal dan vertikal membentuk kedua kaki segitiga siku-siku, dan tampilan menghitung rasionya dari koordinat. Langkah 1 ke kanan menunjukkan angka yang sama sebagai laju: garis naik $m$ untuk setiap satuan horizontal, atau turun jika $m$ negatif.

Pada garis yang tidak vertikal maupun horizontal, segitiga dari perubahan horizontal dan vertikal antara dua titik memiliki sudut yang sama: sisi horizontalnya sejajar, sisi vertikalnya sejajar, dan sisi miringnya berada pada garis yang sama. Jadi, segitiga-segitiga itu sebangun dan kaki-kakinya sebanding: $|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$. Tandanya juga sesuai karena kedua rasio positif pada garis yang naik dan negatif pada garis yang turun: $\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$. Ukur dua kali lebih jauh secara horizontal, perubahan vertikalnya juga dua kali lipat. Gradien adalah milik garis, bukan pasangan titik yang kebetulan dipilih. Pada garis horizontal, setiap perubahan vertikal bernilai 0 sehingga setiap rasio juga 0. Bergerak dari Q ke P membalik tanda $\Delta x$ dan $\Delta y$, tanpa mengubah rasio. Menggeser seluruh garis ke atas atau ke bawah tidak mengubah kedua selisih itu.

Garis yang naik dari kiri ke kanan memiliki gradien positif, yang turun memiliki gradien negatif, dan garis horizontal memiliki gradien 0. Semakin besar $|m|$, semakin curam garisnya.

Pada garis vertikal, $\Delta x = 0$, sehingga rasio perubahan vertikal terhadap horizontal tidak dapat dibentuk: gradiennya tidak terdefinisi. Gradien itu juga bukan tak hingga. Putar garis mendekati vertikal dari satu sisi, gradiennya melampaui angka berapa pun; dari sisi lain, nilainya turun di bawah angka negatif berapa pun. Tidak ada satu nilai yang cocok untuk garis vertikal itu sendiri. Dua titik yang berimpit merupakan kasus berbeda: keduanya tidak menentukan satu garis secara unik.

Sudut kemiringan $\theta$ diukur dari arah $x$ positif ke garis, dengan $0^\circ \le \theta < 180^\circ$. Untuk garis yang tidak vertikal, $m = \tan\theta$; garis vertikal memiliki $\theta = 90^\circ$, tempat tangen juga tidak terdefinisi. Jika skala kedua sumbu sama, seperti di sini, itulah sudut yang Anda lihat. Gradien dan sudut tidak sebanding: gradien 1 berarti 45°, gradien 2 sekitar 63.43°. Pada grafik dengan skala sumbu berbeda, seperti banyak grafik data, sudut yang terlihat berubah mengikuti skala, sedangkan gradien yang dihitung dalam satuan masing-masing sumbu tidak berubah.