斜率

斜率衡量直線有多陡。在直線上取$x$座標不同的兩點$P(x_1, y_1)$與$Q(x_2, y_2)$。從P到Q，鉛直變化為$\Delta y = y_2 - y_1$，水平變化為$\Delta x = x_2 - x_1$，而斜率就是鉛直變化除以水平變化：

斜率通常寫作$m$，也常用$k$。在非鉛直直線的方程式$y = mx + b$中，$m$就是斜率。這裡的水平變化與鉛直變化，是直角三角形的兩條直角邊；讀數從座標算出它們的比值。向右走1格，也把同一個數呈現為變化率：每向右1單位，直線就上升$m$；當$m$為負時則下降。

在既不鉛直也不水平的直線上，任取兩點形成的水平、鉛直變化三角形，角度都相同：水平邊互相平行，鉛直邊互相平行，斜邊落在同一直線上。因此三角形相似，直角邊成比例：$|\Delta y'|/|\Delta x'| = |\Delta y|/|\Delta x|$。符號也一致，因為上升直線上的兩個比值都為正，下降直線上都為負，所以$\Delta y'/\Delta x' = \Delta y/\Delta x$。水平量得兩倍遠，鉛直變化也增為兩倍。斜率屬於直線，不屬於恰好選中的那兩點。水平線的鉛直變化總是0，所以每個比值都是0。改從Q走到P，會同時改變$\Delta x$與$\Delta y$的符號，比值不變；把整條直線上下平移，也不會改變這兩個差。

從左向右上升的直線，斜率為正；下降的直線，斜率為負；水平線的斜率是0。$|m|$越大，直線越陡。

鉛直線上$\Delta x = 0$，無法組成鉛直變化與水平變化的比值：鉛直線的斜率沒有定義。它也不是無限大。從一邊把直線轉向鉛直，斜率會大過任何數；從另一邊轉過去，則會小過任何負數。沒有一個數值適合鉛直線本身。兩點重合是另一種情況：它們根本無法決定唯一的直線。

傾斜角$\theta$從$x$正方向量到直線，範圍為$0^\circ \le \theta < 180^\circ$。對非鉛直直線，$m = \tan\theta$；鉛直線則有$\theta = 90^\circ$，此時正切也沒有定義。兩軸刻度相同時，如本頁，這就是眼睛看到的角度。斜率與角度並不成正比：斜率1對應45°，斜率2約對應63.43°。許多資料圖的兩軸刻度不同，可見的角度會隨刻度改變；用各軸自己的單位計算的斜率則不變。