双摆

本页的双摆是两根一样长、没有重量的硬杆，挂着两个一样重的质点，哪里都没有摩擦。两个角都从竖直向下量起。取$m = l = g = 1$的单位，时间以$\sqrt{l/g}$计；从静止下垂的姿势算起，高度的能量是

在这一页，你可以让摆从任何姿势静止放手，让一千个几乎一样的摆一起放，再看哪些起点能让一节翻过顶，哪些起点真的翻了过去。

默认一起放1 000个摆，它们的下臂起始角分布在百万分之一弧度之内。粗线画的是你的摆，尾巴跟着它的下摆锤。嵌入屏显示能量，它在高度和运动之间转换，总量不变；还显示两个角随时间的变化，每次有一节翻过顶就打一个红点。

运动方程是精确的，里面没有任何随机：同一个起点永远给出同样的运动。可是从默认起点(120°, 60°)出发，到$t \approx 33.5$时，最远的下摆锤已经离你的超过0.1个臂长，这一束摆随后散成明显不同的运动。精度再高也换不来多少。对这个起点，微小差别在还很小时大约每三个时间单位放大$e$倍，所以下臂改为分布在$10^{-9}$弧度之内，也只是把散开推迟到56左右。从小幅度的(30°, 30°)放手，同样的一束摆到$t = 300$几乎没有散开。

小幅度的摆动是有序的。角很小时方程变成线性的，有两种简正模式，两节都保持同一个节奏：

慢的模式里两节往同一边摆，快的模式里两节反着摆；任何小幅摆动都是这两种模式的叠加。

能量围出一道篱笆。没有摩擦，总能量$E'$不变，运动的能量又不会是负的，所以摆只能摆到$V' \le E'$的姿势。下臂要竖直朝上，$V'$至少是2；上臂要朝上，至少是4：这就是嵌入屏能量条上的两个刻度。从静止放手的摆，能量就是起始姿势的高度能量，所以

这是证明，不是模拟。能量在2到4之间，只有下臂可能翻过去；高于4，两节都可能。但能量够只是允许，不等于真的会翻。起点图上的蓝色虚线，标出和你的起点一样高的姿势。

“起点图”一次画出所有从静止放手的起点：横向是上臂的角，纵向是下臂的角，下垂的姿势在正中。有颜色的格显示任一节第一次翻过顶的时刻；斜线区外没有颜色的格，表示到图示时刻还没翻，最多算到$t = 60$。斜线区域是能量不允许翻的。离斜线区域远的地方，颜色成一条条宽带；靠近它，颜色碎成细粒，相邻的起点翻过顶的时刻差得很远。细粒来自对起点的敏感，所以很晚才翻的格，显示的翻顶时刻只是近似值。

起点图只记第一次翻，它不是哪里混沌的地图。混沌并不需要翻过顶：本页的检验里，许多能量低于2的起点已经表现出混沌。