三体问题

每个天体都被另外两个吸引，引力和距离的平方成反比；把引力常数和质量都取1，$\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$。两个天体可以化成一个天体绕它们的质心转，靠守恒的能量和角动量，路径就定成一条圆锥曲线。三个天体守恒的还是这几样，可一般不再能把运动化成公式，只能一步步算，本页就是这样算的。本页的起点取在一个两数的切片里：1号、2号在$x = \mp 1$，3号在它们中间，速度分别是$(p, q)$、$(p, q)$和$(-2p, -2q)$。这样总动量和角动量都是0，能量$E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$。起点图上每一点是一个起点，颜色是三个天体什么时候散开。

擦身而过时，一对可能抱得更紧，把放出的能量交给第三个。交得够多，第三个就走了；总动量是0，所以它和那一对朝相反方向飞开，那一对的速度是它的一半。本页这样判定散开：一个天体离一对互相束缚的天体的质心超过5，也超过它们间距的10倍，相对它们的能量为正，而且正在远离。这是判据，不是证明；从起点图里取500次这样的散开，再往后算300个时间单位，飞出去的那个都还在远离。图上能量$E < 0$的72719个起点里，60%在算到的400个时间单位内散开。圆$p^2 + q^2 = 5/6$外能量不是负的，拉格朗日–雅可比恒等式说明三个天体不能始终聚在一起：取$I = \sum |\mathbf x_i|^2$，有$\ddot I = 4E + 2|U|$；如果距离一直有界，$|U|$就一直大于某个$c > 0$，$I$会无限变大，矛盾。

周期轨道会回到自己的起点。8字形轨道1993年由Cris Moore找到，2000年Alain Chenciner和Richard Montgomery证明了它存在：三个天体在同一条曲线上互相追着走。2013年Šuvakov和Dmitrašinović在这片起点里找到13族新的周期轨道，图上标了其中四条，起点都存了高精度的近似值。小偏差每过一个周期放大的倍数由轨道本身决定：8字形和飞蛾约1，蜻蜓1.31，蝴蝶1.78，护目镜21。护目镜不用推：计算本身的微小误差就会越放越大，大约七个周期后就看不出护目镜了。“轻推1号”把1号的速度改0.001，能量和角动量都会变一点，所以推过的8字形整体慢慢转动；记录屏比较的是去掉这个转动后的样子。

牛顿说过，月球同时受地球和太阳吸引，是唯一让他头疼的问题。庞加莱1890年的获奖论文说明了这类问题为什么难：在一些轨道附近，运动会折叠成缠结，长期预测无从下手，这是人们第一次看见今天所说的混沌。本页的天体是平面里质量相同的点，没有别的：它们没有大小；本页不模拟碰撞或合并，也不是刘慈欣小说里三颗太阳加一颗行星的那个系统。