مسألة الأجسام الثلاثة

ينجذب كل جسم نحو كل جسم آخر بقوة تتناقص مع مربع المسافة؛ وعند جعل ثابت الجاذبية والكتل مساوية لـ1، نحصل على $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. يمكن اختزال حركة جسمين إلى مدار حول مركز كتلتهما المشترك، ويحدّد حفظ الطاقة والزخم الزاوي هذا المسار على أحد القطوع المخروطية. تحفظ ثلاثة أجسام الكميات نفسها، لكنها لا تكفي عمومًا لاختزال الحركة إلى صيغة؛ بل نحسبها خطوة بخطوة، كما تفعل هذه الصفحة. تنتمي البدايات هنا إلى شريحة يحدّدها عددان: الجسمان 1 و2 عند $x = \mp 1$، والجسم 3 بينهما، بسرعات $(p, q)$ و$(p, q)$ و$(-2p, -2q)$. يكون الزخم والزخم الزاوي عندئذ صفرًا، وتكون الطاقة $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. كل نقطة على خريطة الشروط الابتدائية هي بداية واحدة، ولونها يبيّن متى تتفكك الأجسام الثلاثة.

قد يجعل اقترابٌ جسمين أكثر ارتباطًا، وينقل الطاقة المتحررة إلى الجسم الثالث. إذا نال طاقة كافية ابتعد، وبما أن الزخم صفر، يبتعد هو والزوج في اتجاهين متعاكسين، وتساوي سرعة الزوج نصف سرعته. تعدّ الصفحة المحاكاة متفككة عندما يبتعد جسم عن مركز زوج مرتبط بأكثر من 5 وحدات وبأكثر من 10 أضعاف المسافة بين جسمي الزوج، ويكون آخذًا في الابتعاد بطاقة نسبية موجبة. هذا معيار اختبار وليس برهانًا؛ فقد تابعنا 500 حالة تفكك من الخريطة مدة 300 وحدة زمنية إضافية، واستمرت جميعها في التباعد. من بين 72,719 بداية على الخريطة تحقق $E < 0$، تتفكك 60% خلال الوحدات الزمنية الـ400 المحسوبة. خارج الدائرة $p^2 + q^2 = 5/6$، تكون الطاقة غير سالبة، وتستبعد متطابقة لاغرانج–ياكوبي بقاء الأجسام مجتمعة: إذا كان $I = \sum |\mathbf x_i|^2$ فإن $\ddot I = 4E + 2|U|$؛ لذا لو بقيت المسافات محدودة، لبقي $|U|$ أعلى من مقدار ما $c > 0$، ولنمت $I$ بلا حد.

يعود المدار الدوري إلى بدايته. في مسار الثمانية، الذي وجده كريس مور عام 1993 وأثبت ألان شنسينر وريتشارد مونتغمري وجوده عام 2000، تلاحق الأجسام الثلاثة بعضها على منحنى واحد. وجد ميلوفان شوفاكوف وفيلكو دميتراشينوفيتش 13 عائلة جديدة في هذه الشريحة عام 2013؛ أُشير إلى أربعة منها على الخريطة، وحُفظت بداياتها بدقة عالية. ينمو الانحراف الصغير في كل دورة بعامل يحدده المدار: نحو 1 لمساري الثمانية والعثّة، و1.31 لليعسوب، و1.78 للفراشة، و21 للنظّارة. لا تحتاج النظّارة إلى دفعة: تنمو أخطاء الحساب الدقيقة نفسها حتى يضيع المدار بعد نحو سبع دورات. يغيّر زر «ادفع الجسم 1» سرعة ذلك الجسم بمقدار 0.001، فيزيد الطاقة والزخم الزاوي قليلًا، ولذلك يدور مسار الثمانية المدفوع ببطء ككل؛ ويقارن السجل الأشكال بعد استبعاد هذا الدوران.

قال نيوتن إن حركة القمر، الذي تجذبه الأرض والشمس معًا، كانت المسألة الوحيدة التي سبّبت له الصداع. أوضحت مقالة هنري بوانكاريه الفائزة بالجائزة، المنشورة عام 1890، سبب صعوبة هذه المسائل: قرب بعض المدارات تنطوي الحركة في تشابكات تعوق التنبؤ البعيد، وكانت تلك أول لمحة لما نسميه اليوم الفوضى. الأجسام هنا كتل نقطية متساوية في مستوى، لا غير؛ لا حجم لها، ولا نحاكي التصادمات أو الاندماج، وليس هذا نظام الشموس الثلاث والكوكب الواحد في رواية ليو تسي شين.