Problema de los tres cuerpos

Cada cuerpo es atraído hacia cada uno de los demás por una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; al fijar en 1 la constante gravitatoria y las masas, $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. El caso de dos cuerpos se reduce al de uno que orbita alrededor de su centro común, y la conservación de la energía y del momento angular restringe su trayectoria a una sección cónica. Tres cuerpos conservan esas mismas magnitudes, pero en general ya no permiten reducir el movimiento a una fórmula; se calcula paso a paso, como hace esta página. Aquí, las condiciones iniciales pertenecen a una sección definida por dos números: los cuerpos 1 y 2 en $x = \mp 1$ y el cuerpo 3 entre ellos, con velocidades $(p, q)$, $(p, q)$ y $(-2p, -2q)$. El momento lineal y el momento angular son entonces cero, y la energía es $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. Cada punto del mapa de condiciones iniciales representa un inicio, coloreado según cuándo se separan los tres.

Un encuentro cercano puede estrechar la unión de una pareja y transferir al tercer cuerpo la energía liberada. Si recibe suficiente, el tercero se aleja y, como el momento lineal es cero, él y la pareja salen en sentidos opuestos, la pareja a la mitad de su velocidad. La página considera que el sistema se ha separado cuando un cuerpo se encuentra a más de 5 unidades del centro de una pareja ligada y a más de 10 veces la separación de esa pareja, y se aleja de ella con energía positiva relativa a ella. Es un criterio, no una demostración: al seguir durante otras 300 unidades de tiempo 500 separaciones de este tipo tomadas del mapa, el alejamiento continuó en todos los casos. De los 72.719 inicios del mapa con $E < 0$, el 60 % se separa dentro de las 400 unidades de tiempo calculadas. Fuera del círculo $p^2 + q^2 = 5/6$, la energía no es negativa y la identidad de Lagrange–Jacobi impide que permanezcan juntos: para $I = \sum |\mathbf x_i|^2$, se cumple $\ddot I = 4E + 2|U|$, así que, si las distancias se mantuvieran acotadas, $|U|$ permanecería por encima de algún $c > 0$ y $I$ crecería sin límite.

Una órbita periódica regresa a su propio inicio. En el ocho, hallado por Cris Moore en 1993 y cuya existencia demostraron Alain Chenciner y Richard Montgomery en 2000, los tres se persiguen por una misma curva. Milovan Šuvakov y Veljko Dmitrašinović encontraron 13 familias nuevas en esta sección en 2013; cuatro están señaladas en el mapa y sus condiciones iniciales se guardan con gran precisión. Una pequeña desviación crece en cada periodo por un factor propio de la órbita: aproximadamente 1 para el ocho y la polilla, 1,31 para la libélula, 1,78 para la mariposa y 21 para las gafas protectoras. Las gafas protectoras no necesitan ningún impulso: los diminutos errores del propio cálculo crecen hasta que, tras unos siete periodos, se pierde la órbita. El botón «Dar un impulso al cuerpo 1» cambia su velocidad en 0,001, lo que añade un poco de energía y de momento angular; por eso, un ocho que recibe ese impulso gira lentamente como un conjunto. El registro compara las formas descontando ese giro.

Newton decía que la Luna, atraída a la vez por la Tierra y por el Sol, era el único problema que le daba dolor de cabeza. El ensayo premiado de Henri Poincaré, publicado en 1890, mostró por qué estos problemas se resisten: cerca de algunas órbitas, el movimiento se pliega en enredos que impiden la predicción a largo plazo, un primer atisbo de lo que hoy llamamos caos. Los cuerpos de aquí son únicamente masas puntuales iguales en un plano: no tienen tamaño, no se simulan choques ni fusiones, y no son los tres soles y el único planeta de la novela de Liu Cixin.