Atractor de Lorenz: explorador interactivo

El atractor de Lorenz en esta visualización

Las ecuaciones de Lorenz son tres ecuaciones diferenciales ordinarias que Edward Lorenz obtuvo en 1963 de un modelo de convección [1]. Esta página mantiene $\sigma = 10$ y $\beta = 8/3$ y permite ajustar $\rho$ , el calentamiento. Con $\rho = 28$ , casi toda solución acaba girando alrededor del mismo conjunto acotado con forma de mariposa, sin estabilizarse ni repetirse nunca: el atractor de Lorenz.

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

Qué muestran las imágenes

El espacio de fases 3D, la imagen grande: cada punto es un estado $(x, y, z)$ . El gris tenue es una trayectoria larga desde $(1, 1, 1)$ ; el punto móvil y su cola son la trayectoria de referencia; el aro azul es el punto de lanzamiento. Arrastra para girar la vista; haz clic en su cola para elegir dónde se lanzará la siguiente nube.

La tecla roja Lanzar coloca una nube de inicios alrededor del punto de lanzamiento, cada uno exactamente a $\varepsilon$ de él en su propia dirección, y los sigue a todos. El color de un punto muestra cuánto se ha alejado de la referencia. Ese color, el resplandor, las estelas, el oscurecimiento del lado lejano y las partículas tenues que fluyen antes del lanzamiento solo afectan a la representación.

La pantalla de la parte superior del panel: arriba, $x(t)$ de la referencia y de un inicio a distancia $\varepsilon$ , dos «predicciones»; la línea amarilla marca cuándo sus $x$ difieren por primera vez en más de 1, comprobado cada 0.005 unidades de tiempo (un umbral elegido aquí para decir «las predicciones se han separado», no un límite propio del sistema). Abajo, $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ , la media del logaritmo del factor por el que se ha alejado cada punto (el eje muestra el factor), con la banda entre los percentiles 10 y 90 de los puntos; la «distancia típica» de la lectura es su media geométrica. Con $\rho = 28$ , una línea discontinua muestra la pendiente $\lambda \approx 0.906$ , la media a largo plazo, hasta que la distancia se aproxima al tamaño del atractor.

Repetir lanza de nuevo desde el mismo punto, con las mismas direcciones y la misma semilla aleatoria, usando el $\varepsilon$ actual; la curva anterior permanece tenue para comparar. Solo una repetición así compara justamente dos valores de $\varepsilon$ .

Por qué se comporta así

Estiramiento y plegado: cerca del atractor, los estados próximos se separan en una dirección y se comprimen en otra; después el flujo pliega la lámina estirada sobre sí misma. La nube muestra ambas cosas: primero un hilo, después un hilo plegado una y otra vez.

La aplicación de Lorenz (la tecla de ventana junto a $\rho$ ) representa cada máximo de $z$ frente al siguiente, a partir de una trayectoria larga. Los puntos están sobre una curva estrecha con un pico (Lorenz 1963, figura 4): una descripción unidimensional aproximada, no una reducción exacta demostrada. Con $\rho = 28$ , lejos de la cúspide y en la misma rama, la pendiente muestreada tiene valor absoluto mayor que 1, así que dos máximos cercanos se separan más en la siguiente vuelta (no necesariamente si están a lados distintos de la cúspide).

Para $\rho > 1$ , además del origen, hay dos puntos fijos $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ ; para $\rho < 1$ , el origen atrae todas las soluciones. $C_\pm$ pierden estabilidad en una bifurcación de Hopf subcrítica en $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ . Otros valores donde cambia el comportamiento son numéricos: aproximadamente 13.926 (una explosión homoclínica en el origen) y 24.06 (aparece el atractor caótico) [4, 5]. Entre aproximadamente 24.06 (numérico) y $470/19 \approx 24.74$ coexisten el atractor caótico y los dos puntos fijos estables; 99.65 está dentro de una ventana de comportamiento periódico y, con 160, las soluciones convergen a una órbita periódica.

Qué representan los números

La imagen es una aproximación numérica de las trayectorias. Los errores crecen con el tiempo, por lo que la posición exacta tras mucho tiempo no es una predicción fiable para el valor inicial dado; el crecimiento de las distancias y las estadísticas a largo plazo deben contrastarse por separado con el tamaño de paso, la precisión y el muestreo.

Cada trayectoria se integra en tu ordenador con el método clásico de Runge–Kutta de cuarto orden, paso fijo de 0.005 independiente de la tasa de fotogramas y doble precisión. La nube se integra como diferencias respecto a la trayectoria de referencia, así que incluso $\varepsilon = 10^{-12}$ conserva sus dígitos.

La dispersión que ves es la diferencia entre valores iniciales bajo un mismo integrador numérico. Por sí sola no demuestra que las ecuaciones exactas sean igual de sensibles; para eso hace falta teoría (para los parámetros clásicos, la demostración de Tucker [2]). El lema usual de sombreado no se aplica al atractor de Lorenz [6].

$\lambda \approx 0.906$ es una estimación estadística: la tasa media a largo plazo con los parámetros clásicos, calculada independientemente por Sprott [3]; no es una constante para todo $\rho$ . «Cien mil veces más precisión da unas $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ unidades de tiempo adicionales» es una estimación para un crecimiento exponencial típico; un lanzamiento concreto puede diferir mucho.

Posibles confusiones

Las líneas que parecen cruzarse en la imagen no lo hacen: las órbitas distintas no pueden cruzarse porque un estado pertenece a una única órbita. Lo que se cruza es su proyección sobre la pantalla.
El nombre «efecto mariposa» y la forma de mariposa del atractor son dos cosas distintas: el nombre procede de la charla de Lorenz de 1972 sobre las alas de una mariposa y un tornado.
La historia de Lorenz escribiendo 0.506 en lugar de 0.506127 y obteniendo otra predicción ocurrió en 1961 con su modelo meteorológico de doce variables, no con estas tres ecuaciones [7].
Con $\rho = 15$ ( $C_\pm$ son estables allí), una nube lanzada desde los inicios de esta página no se dispersa; se contrae con la trayectoria hacia un punto fijo.

Historia

Lorenz publicó las ecuaciones en 1963 como un modelo de convección drásticamente simplificado, derivado del de Saltzman, y mostró que sus soluciones son aperiódicas y dependen sensiblemente de dónde empiezan [1]. El libro de Sparrow de 1982 describió cómo cambia el comportamiento con $\rho$ [4]. Si el atractor observado en los ordenadores existe realmente para las ecuaciones exactas siguió siendo una cuestión abierta hasta la demostración asistida por ordenador de Tucker (anunciada en 1999 y publicada en 2002) [2].

Conceptos relacionados

Aplicación logística · Péndulo doble (página prevista) · Atractor extraño (página prevista)

Referencias

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Para saber más: Wikipedia: Lorenz system (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Edward Lorenz (Inglés).