جاذب لورنتز

جاذب لورنتز في هذا التصوّر

معادلات لورنتز ثلاث معادلات تفاضلية عادية اشتقها إدوارد لورنتز سنة 1963 من نموذج للحمل الحراري [1]. تثبّت هذه الصفحة $\sigma = 10$ و$\beta = 8/3$ وتتيح تغيير $\rho$، أي التسخين. عند $\rho = 28$ تنتهي تقريبًا كل الحلول إلى الالتفاف حول المجموعة المحدودة نفسها، ذات شكل الفراشة، دون أن تستقر أو تتكرر أبدًا: جاذب لورنتز.

ماذا تُظهر الصور؟

فضاء الطور ثلاثي الأبعاد، الصورة الكبيرة: كل نقطة حالة $(x, y, z)$. الرمادي الباهت مسار طويل واحد يبدأ من $(1, 1, 1)$؛ والنقطة المتحركة وذيلها هما المسار المرجعي؛ والحلقة الزرقاء نقطة الإطلاق. اسحب لتدوير المشهد؛ وانقر ذيله لاختيار موضع إطلاق السحابة التالية.

يضع المفتاح الأحمر أطلق سحابة بدايات حول نقطة الإطلاق، تبعد كل منها $\varepsilon$ عنها بالضبط وفي اتجاه خاص بها، ويتتبّعها كلها. يبيّن لون النقطة مقدار ابتعادها عن المرجع. هذا اللون والتوهج والذيول وتعتيم الجانب البعيد والجسيمات الباهتة المتدفقة قبل الإطلاق كلها وسائل للعرض فقط.

الشاشة أعلى اللوحة: في الأعلى، $x(t)$ للمرجع ولبداية تبعد $\varepsilon$ — أي «تنبؤان»؛ يحدّد الخط الأصفر أول وقت يختلف فيه $x$ بأكثر من 1، بالفحص كل 0.005 وحدة زمن (عتبة اختيرت هنا بمعنى «افترق التنبؤان»، لا حد كامن في النظام). في الأسفل، $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$، متوسط لوغاريتم عامل نمو بُعد كل نقطة (يعرض المحور العامل)، مع نطاق من المئين العاشر إلى التسعين للنقاط؛ و«المسافة النمطية» في القراءة هي متوسطها الهندسي. عند $\rho = 28$ يعرض خط متقطع الميل $\lambda \approx 0.906$، وهو المتوسط طويل الأمد، حتى تقترب المسافة من حجم الجاذب.

يطلق أعد التشغيل السحابة من النقطة نفسها وبالاتجاهات والبذرة العشوائية نفسها، باستخدام $\varepsilon$ الحالية؛ ويبقى المنحنى السابق باهتًا للمقارنة. هذه الإعادة وحدها تقارن قيمتين لـ $\varepsilon$ مقارنة عادلة.

لماذا يسلك هذا السلوك؟

التمديد والطي: قرب الجاذب، تتباعد الحالات المتجاورة في اتجاه وتتقارب في آخر؛ ثم يطوي التدفق الصفيحة الممدودة على نفسها. تُظهر السحابة كليهما — خيطًا أولًا، ثم خيطًا يُطوى مرارًا.

ترسم خريطة لورنتز (مفتاح النافذة بجوار $\rho$) كل قيمة عظمى لـ $z$ مقابل التالية، من مسار طويل واحد. تقع النقاط على منحنى رفيع ذي قمة حادة (لورنتز 1963، الشكل 4) — وصف تقريبي أحادي البعد، لا اختزال دقيق مثبت. عند $\rho = 28$، بعيدًا عن الرأس الحاد وعلى الفرع نفسه، تتجاوز القيمة المطلقة للميل المأخوذ من العينات 1، فتصبح قيمتان عظميان متقاربتان أبعد في الدورة التالية (ولا يلزم ذلك إن وقعتا على جانبي الرأس الحاد).

عندما $\rho > 1$ توجد، إضافة إلى الأصل، نقطتان ثابتتان $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$؛ وعندما $\rho < 1$ يجذب الأصل كل الحلول. تفقد $C_\pm$ الاستقرار في تشعّب هوبف دون حرج عند $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$. القيم الأخرى التي يتغيّر عندها السلوك عددية: نحو 13.926 (انفجار هوموكليني عند الأصل)، ونحو 24.06 (ظهور الجاذب الفوضوي) [4، 5]. بين نحو 24.06 (عدديًا) و$470/19 \approx 24.74$ يتعايش الجاذب الفوضوي والنقطتان الثابتتان المستقرتان؛ وتقع 99.65 داخل نافذة سلوك دوري، وعند 160 تستقر الحلول على مدار دوري.

ما معنى الأعداد؟

الصورة تقريب عددي للمسارات. تنمو الأخطاء مع الزمن، لذا فالموضع الدقيق بعد زمن طويل ليس تنبؤًا موثوقًا للقيمة الابتدائية المعطاة؛ ويجب التحقق على نحو مستقل من نمو المسافات والإحصاءات طويلة الأمد بتغيير حجم الخطوة والدقة وأخذ العينات.

يُكامل كل مسار على حاسوبك بطريقة رونغه–كوتا الكلاسيكية من الرتبة الرابعة، بخطوة ثابتة 0.005 مستقلة عن معدل الإطارات، وبدقة مضاعفة. تُكامل السحابة كفروق عن المسار المرجعي، فتحافظ حتى $\varepsilon = 10^{-12}$ على خاناتها.

الانتشار الذي تراه هو فرق القيم الابتدائية تحت المكامل العددي نفسه. لا يبرهن ذلك وحده أن المعادلات الدقيقة بالحساسية نفسها؛ فهذا يحتاج إلى نظرية (وللمعاملات الكلاسيكية، برهان تاكر [2]). لا تنطبق مبرهنة التظليل المعتادة على جاذب لورنتز [6].

$\lambda \approx 0.906$ تقدير إحصائي: متوسط المعدل طويل الأمد عند المعاملات الكلاسيكية، حسبه سبروت مستقلًا [3]؛ وليس ثابتًا لكل $\rho$. عبارة «دقة أكبر مئة ألف مرة تمنح نحو $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ وحدة زمن إضافية» تقدير للنمو الأسي النمطي؛ وقد يختلف إطلاق واحد كثيرًا.

ما يسهل الخلط فيه

• الخطوط التي تبدو متقاطعة في الصورة لا تتقاطع فعلًا: لا يمكن لمدارين مختلفين أن يتقاطعا، لأن كل حالة تنتمي إلى مدار واحد فقط. ما يتقاطع هو إسقاطهما على الشاشة.
• اسم «تأثير الفراشة» وشكل الجاذب الشبيه بالفراشة أمران منفصلان: يأتي الاسم من محاضرة لورنتز سنة 1972 عن جناحي فراشة وإعصار.
• قصة إدخال لورنتز 0.506 بدلًا من 0.506127 وحصوله على تنبؤ مختلف حدثت سنة 1961 في نموذجه الجوي ذي اثني عشر متغيرًا، لا في هذه المعادلات الثلاث [7].
• عند $\rho = 15$ (تكون $C_\pm$ مستقرة هناك)، لا تنتشر السحابة المطلقة من بدايات هذه الصفحة؛ بل تنكمش مع المسار نحو نقطة ثابتة.

لمحة تاريخية

نشر لورنتز المعادلات سنة 1963 كنموذج شديد التبسيط للحمل الحراري، استنادًا إلى نموذج سالتزمان، وأظهر أن حلولها غير دورية وحساسة لمواضع بدايتها [1]. رسم كتاب سبارو الصادر سنة 1982 خريطة تغيّر السلوك مع $\rho$ [4]. وظل وجود الجاذب المرئي على الحاسوب للمعادلات الدقيقة مسألة مفتوحة حتى برهان تاكر بمساعدة الحاسوب (أُعلن سنة 1999 ونُشر سنة 2002) [2].

مفاهيم ذات صلة

الخريطة اللوجستية · البندول المزدوج (صفحة قيد الإعداد) · الجاذب الغريب (صفحة قيد الإعداد)

المراجع

1. E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
2. W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
3. J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
4. C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
5. J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
6. M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
7. E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Lorenz system (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Edward Lorenz (الإنجليزية).