ローレンツ・アトラクター：インタラクティブな探索

この図で見るローレンツ・アトラクター

ローレンツ方程式は、エドワード・ローレンツが1963年に対流モデルから導いた3本の常微分方程式です [1]。このページでは $\sigma = 10$ 、 $\beta = 8/3$ を固定し、加熱の強さ $\rho$ を変えます。 $\rho = 28$ ではほとんどすべての解が、落ち着くことも周期的に繰り返すこともなく、同じ有界な蝶形の集合の周りを回り続けます。これがローレンツ・アトラクターです。

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

図が示すもの

大きな画像は3D位相空間で、各点が状態 $(x, y, z)$ を表します。薄い灰色は $(1, 1, 1)$ からの1本の長い軌道、動く点とその尾は基準軌道、青い輪は放出点です。ドラッグで視点を回し、尾をクリックして次の点群の放出位置を選びます。

赤い放出キーは、放出点から各方向にちょうど $\varepsilon$ 離れた初期値の点群を置き、すべてを追跡します。点の色は基準軌道からどれだけ離れたかを示します。色、光、軌跡、奥側の暗さ、放出前に流れる薄い粒子はすべて表示上の表現です。

パネル上部の画面の上段は、基準軌道と $\varepsilon$ 離れた1つの初期値の $x(t)$ 、つまり2つの「予測」です。黄色い線は両者の $x$ の差が初めて1を超えた時刻を示し、0.005時間単位ごとに調べます（「予測が分かれた」とするこのページの基準で、系に固有の限界ではありません）。下段は $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ 、各点の距離の増加倍率の対数平均です（軸は倍率を表示）。点群の10～90パーセンタイルの帯も示し、「典型的な距離」は幾何平均です。 $\rho = 28$ では、距離がアトラクターの大きさに近づくまで、長期平均の傾き $\lambda \approx 0.906$ を破線で示します。

再実行は、同じ点、同じ方向、同じ乱数シードから、現在の $\varepsilon$ で再び放出します。比較のため、前の曲線は薄く残ります。このように再実行して初めて、2つの $\varepsilon$ を同じ条件で比較できます。

この振る舞いになる理由

伸長と折り畳み：アトラクターの近くでは、近い状態がある方向には引き離され、別の方向には押し縮められます。流れはその伸びた面を折り返します。点群には両方が見え、最初は糸になり、やがて何度も折り畳まれます。

ローレンツ写像（ $\rho$ の横の窓キー）は、1本の長い軌道から $z$ の各極大値と次の極大値を描きます。点は先のとがった細い曲線上に並びます（Lorenz 1963、図4）。近似的な1次元表現であり、厳密な縮約の証明ではありません。 $\rho = 28$ で尖点から離れた同じ枝上では、標本の傾きの絶対値が1を超えるため、近い2つの極大値は次の周回でさらに離れます（尖点を挟む2点ではそうとは限りません）。

$\rho > 1$ では原点以外に2つの不動点 $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ があり、 $\rho < 1$ では原点がすべての解を引き付けます。 $C_\pm$ は $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ で亜臨界ホップ分岐により安定性を失います。ほかの変化点は数値値で、約13.926で原点のホモクリニック爆発、約24.06でカオス的アトラクターが出現します [4, 5]。約24.06（数値値）から $470/19 \approx 24.74$ までは、カオス的アトラクターと2つの安定不動点が共存します。99.65は周期的挙動の窓の中にあり、160では解が周期軌道に落ち着きます。

数値が表すもの

図は軌道の数値近似です。誤差は時間とともに増えるため、長時間後の正確な位置は、指定した初期値の信頼できる予測にはなりません。距離の増加や長期統計は、刻み幅、精度、標本の取り方を変えて別途確かめる必要があります。

各軌道はお使いの端末で、古典的4次ルンゲ＝クッタ法、フレームレートに依存しない固定刻み0.005、倍精度で積分します。点群は基準軌道との差として積分するため、 $\varepsilon = 10^{-12}$ でも桁を保てます。

見えている広がりは、同一の数値積分法による初期値間の差です。それだけで厳密な方程式も同じ鋭敏性を持つとは証明できず、理論が必要です（標準的なパラメーターではタッカーの証明 [2]）。通常のシャドーイング補題はローレンツ・アトラクターに適用できません [6]。

$\lambda \approx 0.906$ は統計的推定で、Sprott が独立に計算した標準パラメーターでの長期平均率です [3]。どの $\rho$ にも共通する定数ではありません。「精度を10万倍にすると約 $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ 時間単位だけ長く予測できる」というのは、典型的な指数成長での見積もりです。個々の放出では大きく異なることがあります。

読み違えやすいところ

画像で線が交差して見えても、実際には交差していません。1つの状態が属する軌道は1つだけなので、異なる軌道は交われません。交差するのは画面への投影です。
「バタフライ効果」という名前と、アトラクターの蝶の形は別の由来です。名前は1972年のローレンツの、蝶の羽ばたきと竜巻についての講演に由来します。
ローレンツが0.506127の代わりに0.506を入力して別の予測を得た話は、1961年の12変数の気象モデルでの出来事で、この3本の方程式ではありません [7]。
$\rho = 15$ （ここでは $C_\pm$ は安定）で、このページの初期値から放出した点群は広がらず、軌道とともに不動点へ縮んでいきます。

歴史

ローレンツは1963年、Saltzman のモデルを大幅に簡略化した対流モデルとして方程式を発表し、その解が非周期的で初期値に鋭敏に依存することを示しました [1]。Sparrow の1982年の著書は、 $\rho$ による振る舞いの変化を整理しました [4]。計算機で見えるアトラクターが厳密な方程式にも本当に存在するかは、タッカーの計算機援用証明（1999年発表、2002年刊行）まで未解決でした [2]。

参考文献

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

さらに読む: ウィキペディア: Lorenz system (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Edward Lorenz (英語).