Lorenz-Attraktor: Interaktiv erkunden

Der Lorenz-Attraktor in dieser Visualisierung

Die Lorenz-Gleichungen sind drei gewöhnliche Differentialgleichungen, die Edward Lorenz 1963 aus einem Konvektionsmodell ableitete [1]. Diese Seite hält $\sigma = 10$ und $\beta = 8/3$ fest und lässt dich die Heizstärke $\rho$ verändern. Bei $\rho = 28$ windet sich fast jede Lösung schließlich um dieselbe beschränkte, schmetterlingsförmige Menge, ohne je zur Ruhe zu kommen oder sich zu wiederholen: den Lorenz-Attraktor.

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

Was die Bilder zeigen

Der dreidimensionale Phasenraum, das große Bild: Jeder Punkt ist ein Zustand $(x, y, z)$ . Blassgrau erscheint eine lange Bahn ab $(1, 1, 1)$ ; der bewegte Punkt mit seiner Spur ist die Referenzbahn, der blaue Ring der Startpunkt. Ziehe zum Drehen der Ansicht; klicke auf die Spur, um den Startpunkt der nächsten Wolke zu wählen.

Die rote Taste Wolke starten setzt eine Wolke von Anfangswerten um den Startpunkt, jeden genau im Abstand $\varepsilon$ in einer eigenen Richtung, und verfolgt alle. Die Farbe eines Punkts zeigt seinen Abstand von der Referenz. Farbe, Leuchten, Spuren, Abdunklung der Rückseite und die vor einem Start strömenden blassen Teilchen dienen ausschließlich der Darstellung.

Die Anzeige oben im Bedienfeld: oben $x(t)$ der Referenz und eines im Abstand $\varepsilon$ gestarteten Punkts — zwei „Vorhersagen“. Die gelbe Linie markiert, wann sich ihre $x$ erstmals um mehr als 1 unterscheiden, geprüft alle 0.005 Zeiteinheiten (eine hier gewählte Schwelle für „Vorhersagen auseinander“, keine dem System eigene Grenze). Darunter $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ , der Mittelwert des Logarithmus des jeweiligen Abstandsfaktors (die Achse zeigt den Faktor), samt Band vom 10. bis zum 90. Perzentil der Punkte. Der angezeigte „typische Abstand“ ist ihr geometrisches Mittel. Bei $\rho = 28$ zeigt eine gestrichelte Linie die Steigung $\lambda \approx 0.906$ , das Langzeitmittel, bis der Abstand die Größenordnung des Attraktors erreicht.

Wiederholen startet erneut vom selben Punkt mit denselben Richtungen und demselben Zufallsstartwert, aber dem aktuellen $\varepsilon$ . Die frühere Kurve bleibt zum Vergleich blass sichtbar. Nur eine solche Wiederholung vergleicht zwei Werte von $\varepsilon$ unter gleichen Bedingungen.

Warum es sich so verhält

Strecken und Falten: Nahe dem Attraktor werden benachbarte Zustände in einer Richtung auseinandergezogen und in einer anderen zusammengedrückt. Die Strömung faltet die gestreckte Fläche dann auf sich selbst zurück. Die Wolke zeigt beides — zuerst einen Faden, dann einen immer wieder gefalteten Faden.

Die Lorenz-Abbildung (Fenstertaste neben $\rho$ ) trägt jedes Maximum von $z$ gegen das nächste auf, aus einer langen Bahn. Die Punkte liegen auf einer schmalen Kurve mit Spitze (Lorenz 1963, Abbildung 4) — eine näherungsweise eindimensionale Beschreibung, keine bewiesene exakte Reduktion. Bei $\rho = 28$ ist die gemessene Steigung abseits der Spitze auf demselben Ast dem Betrag nach größer als 1. Zwei nahe Maxima liegen beim nächsten Umlauf daher weiter auseinander (für zwei Maxima auf verschiedenen Seiten der Spitze muss das nicht gelten).

Für $\rho > 1$ gibt es neben dem Ursprung zwei Fixpunkte $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ ; für $\rho < 1$ zieht der Ursprung jede Lösung an. $C_\pm$ verlieren bei $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ in einer unterkritischen Hopf-Bifurkation ihre Stabilität. Weitere Werte für Verhaltensänderungen sind numerisch bestimmt: ungefähr 13.926 (homokline Explosion am Ursprung) und ungefähr 24.06 (Entstehung des chaotischen Attraktors) [4, 5]. Zwischen ungefähr 24.06 (numerisch) und $470/19 \approx 24.74$ existieren der chaotische Attraktor und die zwei stabilen Fixpunkte nebeneinander. 99.65 liegt in einem Fenster periodischen Verhaltens; bei 160 nähern sich die Lösungen einer periodischen Bahn.

Was die Zahlen bedeuten

Das Bild ist eine numerische Näherung der Bahnen. Fehler wachsen mit der Zeit, daher ist die genaue Position nach langer Zeit keine zuverlässige Vorhersage für den angegebenen Anfangswert. Abstandswachstum und Langzeitstatistik müssen getrennt auf Schrittweite, Rechengenauigkeit und Stichprobenwahl geprüft werden.

Jede Bahn wird auf deinem Computer mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung integriert, mit fester Schrittweite 0.005 unabhängig von der Bildrate und doppelter Genauigkeit. Die Wolke wird als Differenzen zur Referenzbahn integriert, sodass selbst $\varepsilon = 10^{-12}$ seine Ziffern behält.

Die sichtbare Ausbreitung ist der Unterschied zwischen Anfangswerten unter demselben numerischen Integrator. Für sich allein beweist sie nicht, dass die exakten Gleichungen genauso empfindlich sind; dazu braucht es Theorie (bei den klassischen Parametern Tuckers Beweis [2]). Das übliche Beschattungslemma gilt für den Lorenz-Attraktor nicht [6].

$\lambda \approx 0.906$ ist eine statistische Schätzung: die mittlere Langzeitrate bei den klassischen Parametern, unabhängig von Sprott berechnet [3]. Sie ist keine Konstante für jedes $\rho$ . „Hunderttausendmal höhere Genauigkeit bringt ungefähr $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ zusätzliche Zeiteinheiten“ ist eine Schätzung für typisches exponentielles Wachstum; ein einzelner Start kann stark abweichen.

Häufige Missverständnisse

Linien, die sich im Bild scheinbar kreuzen, tun das nicht: Verschiedene Bahnen können sich nicht schneiden, da ein Zustand nur zu einer Bahn gehört. Es sind ihre Projektionen auf den Bildschirm, die sich kreuzen.
Der Name „Schmetterlingseffekt“ und die Schmetterlingsform des Attraktors sind zwei verschiedene Dinge. Der Name stammt aus Lorenz’ Vortrag von 1972 über Schmetterlingsflügel und einen Tornado.
Die Geschichte, in der Lorenz 0.506 statt 0.506127 eingab und eine andere Vorhersage erhielt, ereignete sich 1961 mit seinem Wettermodell aus zwölf Variablen, nicht mit diesen drei Gleichungen [7].
Bei $\rho = 15$ ( $C_\pm$ sind dort stabil) breitet sich eine Wolke mit den Startwerten dieser Seite nicht aus; sie schrumpft gemeinsam mit der Bahn auf einen Fixpunkt zu.

Geschichte

Lorenz veröffentlichte die Gleichungen 1963 als stark vereinfachtes Konvektionsmodell nach Saltzman und zeigte, dass ihre Lösungen nichtperiodisch sind und empfindlich von den Anfangswerten abhängen [1]. Sparrows Buch von 1982 beschrieb, wie sich das Verhalten mit $\rho$ ändert [4]. Ob der am Computer beobachtete Attraktor auch für die exakten Gleichungen existiert, blieb bis zu Tuckers computergestütztem Beweis offen (1999 angekündigt, 2002 veröffentlicht) [2].

Quellen

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Lorenz system (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Edward Lorenz (Englisch).