Lorenz çekicisi

Bu görselleştirmede Lorenz çekicisi

Lorenz denklemleri, Edward Lorenz'in 1963'te bir taşınım modelinden çıkardığı üç adi diferansiyel denklemdir [1]. Sayfa $\sigma = 10$ ve $\beta = 8/3$ değerlerini sabit tutar; ısıtma olan $\rho$ değerini değiştirmenize izin verir. $\rho = 28$ için hemen hemen her çözüm, hiç yerleşmeden veya tekrarlanmadan aynı sınırlı kelebek biçimli küme çevresinde dolanır: Lorenz çekicisi.

Görseller ne gösteriyor?

3B faz uzayı, büyük görsel: her nokta bir $(x, y, z)$ durumudur. Soluk gri, $(1, 1, 1)$ başlangıcından uzun bir yörüngedir; hareketli nokta ve kuyruğu referans yörüngedir; mavi halka bırakma noktasıdır. Görünümü döndürmek için sürükleyin; sonraki bulutun bırakılacağı yeri seçmek için kuyruğa tıklayın.

Kırmızı Başlat tuşu, bırakma noktasının çevresine her biri kendi yönünde tam $\varepsilon$ uzakta bir başlangıçlar bulutu koyup hepsini izler. Noktanın rengi referanstan ne kadar uzaklaştığını gösterir. Bu renk, parıltı, izler, uzak tarafın karartılması ve bırakmadan önce akan soluk parçacıklar yalnızca gösterimdir.

Panelin üstündeki ekran: üstte referansın ve $\varepsilon$ uzakta başlayan bir noktanın $x(t)$ değeri, iki “tahmin”. Sarı çizgi, $x$ değerleri ilk kez 1'den fazla farklılaştığında işaretlenir; her 0.005 zaman biriminde kontrol edilir (bu, sistemin doğal sınırı değil, burada “tahminler ayrıldı” için seçilen eşiktir). Altta $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$, her noktanın uzaklığının kaç kat arttığının logaritma ortalamasıdır (eksen katsayıyı okur); bant noktaların 10. ile 90. yüzdelikleri arasındadır. Okumadaki “tipik uzaklık” geometrik ortalamadır. $\rho = 28$ için kesikli çizgi, uzaklık çekicinin boyutuna yaklaşana kadar uzun vadeli ortalama $\lambda \approx 0.906$ eğimini gösterir.

Yeniden oynat, mevcut $\varepsilon$ ile aynı nokta, aynı yönler ve aynı rastgele tohumdan yeniden bırakır; önceki eğri karşılaştırma için soluk kalır. İki $\varepsilon$ değerini adil karşılaştıran yalnızca böyle bir tekrardır.

Neden böyle davranıyor?

Gerilme ve katlanma: çekici yakınında komşu durumlar bir yönde ayrılıp başka yönde sıkışır; akış sonra gerilmiş tabakayı kendi üzerine katlar. Bulut ikisini de gösterir: önce iplik, sonra tekrar tekrar katlanan iplik.

Lorenz dönüşümü ($\rho$ yanındaki pencere tuşu), uzun bir yörüngedeki her $z$ maksimumunu sonrakine karşı çizer. Noktalar ince sivri eğride yer alır (Lorenz 1963, şekil 4): kanıtlanmış tam indirgeme değil, yaklaşık tek boyutlu betimleme. $\rho = 28$ için sivri uçtan uzakta aynı dal üzerinde örneklenmiş eğimin mutlak değeri 1'den büyüktür; yakın iki maksimum sonraki turda uzaklaşır (sivri ucun iki tarafındakiler için bu gerekmez).

$\rho > 1$ için orijin dışında iki $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ sabit noktası vardır; $\rho < 1$ için orijin her çözümü çeker. $C_\pm$, $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ değerinde altkritik Hopf çatallanmasıyla kararlılığını kaybeder. Davranışın değiştiği diğer değerler sayısaldır: yaklaşık 13.926 (orijinde homoklinik patlama), yaklaşık 24.06 (kaotik çekicinin doğuşu) [4, 5]. Yaklaşık 24.06 (sayısal) ile $470/19 \approx 24.74$ arasında kaotik çekici ve iki kararlı sabit nokta birlikte bulunur. 99.65 periyodik davranış penceresindedir; 160'ta çözümler periyodik yörüngeye yerleşir.

Sayılar ne anlama geliyor?

Görsel, yörüngelerin sayısal yaklaşımıdır. Hatalar zamanla büyüdüğünden uzun süre sonraki tam konum, verilen başlangıç değeri için güvenilir tahmin değildir. Uzaklıkların büyümesi ve uzun vadeli istatistikler adım boyutu, hassasiyet ve örneklemeye karşı ayrı kontrol edilmelidir.

Her yörünge bilgisayarınızda klasik dördüncü dereceden Runge–Kutta yöntemiyle, kare hızından bağımsız sabit 0.005 adımla, çift hassasiyette integre edilir. Bulut referans yörüngeden farklar olarak integre edildiğinden $\varepsilon = 10^{-12}$ bile basamaklarını korur.

Gördüğünüz yayılma, aynı sayısal integratörde farklı başlangıç değerlerinin farkıdır. Tek başına tam denklemlerin aynı derecede hassas olduğunu kanıtlamaz; bunun için kuram gerekir (klasik parametrelerde Tucker'ın kanıtı [2]). Alışılmış gölgeleme lemması Lorenz çekicisine uygulanmaz [6].

$\lambda \approx 0.906$ istatistiksel bir tahmindir: Sprott'un bağımsız hesapladığı klasik parametrelerdeki uzun vadeli ortalama hız [3]. Her $\rho$ için sabit değildir. “Yüz bin kat daha fazla hassasiyet yaklaşık $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ zaman birimi kazandırır” tipik üstel büyüme tahminidir; tek bırakma çok farklı olabilir.

Yanlış yorumlamaya açık noktalar

• Görselde kesişiyor gibi görünen çizgiler gerçekte kesişmez: bir durum yalnızca bir yörüngeye ait olduğundan farklı yörüngeler kesişemez. Kesişen, ekrandaki gölgeleridir.
• “Kelebek etkisi” adı ile çekicinin kelebek şekli ayrı şeylerdir: ad, Lorenz'in 1972'de kelebeğin kanatları ve hortum hakkındaki konuşmasından gelir.
• Lorenz'in 0.506127 yerine 0.506 yazıp farklı tahmin elde etmesi 1961'de on iki değişkenli hava modeliyle yaşandı; bu üç denklemle değil [7].
• $\rho = 15$ için ($C_\pm$ orada kararlıdır), sayfanın başlangıçlarından bırakılan bulut yayılmaz; yörüngeyle birlikte sabit noktaya küçülür.

Tarihçe

Lorenz, Saltzman'ın modelinden sonra denklemleri 1963'te büyük ölçüde basitleştirilmiş taşınım modeli olarak yayımladı; çözümlerinin periyodik olmadığını ve başlangıca hassas bağlı olduğunu gösterdi [1]. Sparrow'un 1982 kitabı davranışın $\rho$ ile değişimini haritaladı [4]. Bilgisayarda görülen çekicinin tam denklemlerde gerçekten var olup olmadığı, Tucker'ın bilgisayar destekli kanıtına kadar açık kaldı (1999'da duyuruldu, 2002'de yayımlandı) [2].

İlgili kavramlar

Lojistik dönüşüm · Çift sarkaç (sayfa planlanıyor) · Garip çekici (sayfa planlanıyor)

Kaynaklar

1. E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
2. W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
3. J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
4. C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
5. J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
6. M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
7. E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Ek okumalar: Vikipedi: Lorenz system (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Edward Lorenz (İngilizce).