Attracteur de Lorenz : exploration interactive

L’attracteur de Lorenz dans cette visualisation

Les équations de Lorenz sont trois équations différentielles ordinaires qu’Edward Lorenz a tirées en 1963 d’un modèle de convection [1]. Cette page conserve $\sigma = 10$ et $\beta = 8/3$ et vous permet de régler $\rho$ , le chauffage. Pour $\rho = 28$ , presque toute solution finit par s’enrouler autour du même ensemble borné en forme de papillon, sans jamais se stabiliser ni se répéter : l’attracteur de Lorenz.

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

Ce que montrent les images

L’espace des phases 3D, la grande image : chaque point est un état $(x, y, z)$ . Le gris discret représente une longue trajectoire depuis $(1, 1, 1)$ ; le point mobile et sa traînée sont la trajectoire de référence ; le cercle bleu est le point de lancement. Faites glisser pour tourner la vue ; cliquez sur la traînée pour choisir où lancer le prochain nuage.

La touche rouge Lancer place un nuage de départs autour du point de lancement, chacun à exactement $\varepsilon$ de celui-ci dans sa propre direction, et les suit tous. La couleur d’un point indique son éloignement de la référence. Cette couleur, la lueur, les traînées, l’assombrissement du côté éloigné et les particules discrètes qui circulent avant le lancement ne servent qu’à l’affichage.

L’écran en haut du panneau : en haut, $x(t)$ de la référence et d’un départ distant de $\varepsilon$ — deux « prévisions » ; la ligne jaune marque le premier instant où leurs $x$ diffèrent de plus de 1, vérifié toutes les 0.005 unités de temps (un seuil choisi ici pour dire « les prévisions ont divergé », pas une limite intrinsèque du système). En bas, $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ , la moyenne du logarithme du facteur d’éloignement de chaque point (l’axe indique le facteur), avec la bande du 10e au 90e percentile des points ; la « distance typique » affichée est leur moyenne géométrique. Pour $\rho = 28$ , une ligne en pointillés montre la pente $\lambda \approx 0.906$ , moyenne à long terme, jusqu’à ce que la distance approche la taille de l’attracteur.

Rejouer relance depuis le même point, dans les mêmes directions et avec la même graine aléatoire, en utilisant l’ $\varepsilon$ actuel ; la courbe précédente reste discrètement visible pour comparaison. Seule cette répétition permet de comparer équitablement deux valeurs de $\varepsilon$ .

Pourquoi ce comportement

Étirement et repliement : près de l’attracteur, des états voisins s’écartent dans une direction et se rapprochent dans une autre ; l’écoulement replie ensuite la nappe étirée sur elle-même. Le nuage montre les deux phénomènes — d’abord un fil, puis un fil replié encore et encore.

L’application de Lorenz (la touche de fenêtre à côté de $\rho$ ) trace chaque maximum de $z$ en fonction du suivant, sur une longue trajectoire. Les points se placent sur une courbe fine et pointue (Lorenz 1963, figure 4) — une description unidimensionnelle approchée, pas une réduction exacte démontrée. Pour $\rho = 28$ , loin de la pointe et sur une même branche, la pente échantillonnée a une valeur absolue supérieure à 1 : deux maxima proches s’écartent donc au tour suivant (ce n’est pas nécessairement vrai de deux maxima de part et d’autre de la pointe).

Pour $\rho > 1$ , il existe, outre l’origine, deux points fixes $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ ; pour $\rho < 1$ , l’origine attire toute solution. $C_\pm$ perdent leur stabilité dans une bifurcation de Hopf sous-critique en $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ . Les autres seuils de changement de comportement sont numériques : environ 13.926 (explosion homocline à l’origine) et environ 24.06 (apparition de l’attracteur chaotique) [4, 5]. Entre environ 24.06 (numérique) et $470/19 \approx 24.74$ , l’attracteur chaotique et les deux points fixes stables coexistent ; 99.65 se trouve dans une fenêtre de comportement périodique, et à 160, les solutions se stabilisent sur une orbite périodique.

Ce que sont les nombres

L’image est une approximation numérique des trajectoires. Les erreurs augmentent avec le temps : la position exacte après une longue durée n’est donc pas une prévision fiable pour la condition initiale donnée ; la croissance des distances et les statistiques à long terme doivent être vérifiées séparément en faisant varier le pas, la précision et l’échantillonnage.

Chaque trajectoire est intégrée sur votre ordinateur par la méthode classique de Runge-Kutta d’ordre quatre, avec un pas fixe de 0.005 indépendant de la fréquence d’affichage, en double précision. Le nuage est intégré comme des écarts à la trajectoire de référence, de sorte que même $\varepsilon = 10^{-12}$ conserve ses chiffres.

L’étalement observé est l’écart entre des valeurs initiales sous un seul et même intégrateur numérique. À lui seul, il ne prouve pas que les équations exactes soient aussi sensibles ; il faut la théorie (pour les paramètres classiques, la preuve de Tucker [2]). Le lemme d’ombrage usuel ne s’applique pas à l’attracteur de Lorenz [6].

$\lambda \approx 0.906$ est une estimation statistique : le taux moyen à long terme pour les paramètres classiques, calculé indépendamment par Sprott [3] ; ce n’est pas une constante pour tout $\rho$ . « Cent mille fois plus de précision offrent environ $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ unités de temps supplémentaires » est une estimation pour une croissance exponentielle typique ; un lancement particulier peut s’en écarter fortement.

À ne pas confondre

Les lignes qui semblent se croiser sur l’image ne se croisent pas : des orbites distinctes ne peuvent pas se croiser, car un état n’appartient qu’à une seule orbite. Ce sont leurs projections à l’écran qui se croisent.
Le nom « effet papillon » et la forme de papillon de l’attracteur sont deux choses distinctes : le nom vient de la conférence de Lorenz de 1972 sur les ailes d’un papillon et une tornade.
L’histoire où Lorenz a saisi 0.506 au lieu de 0.506127 et obtenu une prévision différente date de 1961 et concerne son modèle météorologique à douze variables, pas ces trois équations [7].
Pour $\rho = 15$ ( $C_\pm$ y sont stables), un nuage lancé depuis les départs de cette page ne s’étale pas ; il se contracte avec la trajectoire vers un point fixe.

Histoire

Lorenz a publié les équations en 1963 comme modèle de convection radicalement simplifié, après celui de Saltzman, et a montré que leurs solutions sont non périodiques et sensibles au point de départ [1]. Le livre de Sparrow de 1982 a décrit les changements de comportement avec $\rho$ [4]. L’existence réelle, pour les équations exactes, de l’attracteur observé sur ordinateur est restée ouverte jusqu’à la preuve assistée par ordinateur de Tucker (annoncée en 1999, publiée en 2002) [2].

Concepts associés

Suite logistique · Pendule double (page prévue) · Attracteur étrange (page prévue)

Références

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Pour aller plus loin: Wikipédia: Lorenz system (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Edward Lorenz (Anglais).