Atrator de Lorenz: exploração interativa

O atrator de Lorenz nesta visualização

As equações de Lorenz são três equações diferenciais ordinárias que Edward Lorenz obteve em 1963 a partir de um modelo de convecção [1]. Esta página mantém $\sigma = 10$ e $\beta = 8/3$ e permite variar $\rho$ , o aquecimento. Em $\rho = 28$ , quase todas as soluções acabam por se enrolar em torno do mesmo conjunto limitado em forma de borboleta, sem nunca estabilizar nem se repetir: o atrator de Lorenz.

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

O que mostram as imagens

O espaço de fases 3D, a imagem maior: cada ponto é um estado $(x, y, z)$ . O cinzento ténue representa uma trajetória longa a partir de $(1, 1, 1)$ ; o ponto em movimento e o seu rasto são a trajetória de referência; o anel azul é o ponto de lançamento. Arraste para rodar a vista; clique no rasto para escolher onde lançar a próxima nuvem.

A tecla vermelha Lançar coloca uma nuvem de inícios em torno do ponto de lançamento, cada um exatamente à distância $\varepsilon$ numa direção própria, e acompanha-os a todos. A cor de um ponto mostra quanto se afastou da referência. Essa cor, o brilho, os rastos, o escurecimento do lado mais distante e as partículas ténues que fluem antes de um lançamento são apenas recursos visuais.

O ecrã no topo do painel: em cima, $x(t)$ da referência e de um início à distância $\varepsilon$ — duas «previsões»; a linha amarela assinala quando os seus $x$ diferem pela primeira vez em mais de 1, verificado a cada 0.005 unidades de tempo (um limiar aqui escolhido para «as previsões separaram-se», não um limite inerente ao sistema). Em baixo, $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ , a média do logaritmo do fator de afastamento de cada ponto (o eixo indica o fator), com a faixa entre os percentis 10 e 90 dos pontos; a «distância típica» na leitura é a sua média geométrica. Em $\rho = 28$ , uma linha tracejada mostra o declive $\lambda \approx 0.906$ , a média a longo prazo, até a distância se aproximar da dimensão do atrator.

Repetir lança novamente a partir do mesmo ponto, com as mesmas direções e a mesma semente aleatória, usando o $\varepsilon$ atual; a curva anterior mantém-se ténue para comparação. Só uma repetição destas permite comparar dois valores de $\varepsilon$ em condições iguais.

Por que se comporta assim

Esticar e dobrar: perto do atrator, estados próximos afastam-se numa direção e comprimem-se noutra; o escoamento dobra depois a folha esticada sobre si mesma. A nuvem mostra ambos os processos — primeiro um fio, depois um fio dobrado repetidamente.

A aplicação de Lorenz (a tecla de janela ao lado de $\rho$ ) representa cada máximo de $z$ face ao seguinte, a partir de uma trajetória longa. Os pontos ficam numa curva fina com um pico (Lorenz, 1963, figura 4) — uma descrição unidimensional aproximada, não uma redução exata demonstrada. Em $\rho = 28$ , longe da cúspide e no mesmo ramo, o declive amostrado tem valor absoluto superior a 1; assim, dois máximos próximos ficam mais afastados na volta seguinte (dois de lados opostos da cúspide não têm necessariamente esse comportamento).

Para $\rho > 1$ , além da origem, existem dois pontos fixos $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ ; para $\rho < 1$ , a origem atrai todas as soluções. $C_\pm$ perdem estabilidade numa bifurcação de Hopf subcrítica em $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ . Outros valores em que o comportamento muda são numéricos: cerca de 13.926 (uma explosão homoclínica na origem) e cerca de 24.06 (surge o atrator caótico) [4, 5]. Entre cerca de 24.06 (numérico) e $470/19 \approx 24.74$ , coexistem o atrator caótico e os dois pontos fixos estáveis; 99.65 fica numa janela de comportamento periódico e, em 160, as soluções convergem para uma órbita periódica.

O que são os números

A imagem é uma aproximação numérica das trajetórias. Os erros crescem com o tempo, pelo que a posição exata após muito tempo não é uma previsão fiável para o valor inicial dado; o crescimento das distâncias e as estatísticas a longo prazo têm de ser verificados separadamente em relação ao passo, à precisão e à amostragem.

Cada trajetória é integrada no seu computador pelo método clássico de Runge–Kutta de quarta ordem, com passo fixo de 0.005 independente da frequência de fotogramas, em dupla precisão. A nuvem é integrada como diferenças em relação à trajetória de referência, pelo que até $\varepsilon = 10^{-12}$ conserva os seus algarismos.

A dispersão visível é a diferença entre valores iniciais sob o mesmo integrador numérico. Por si só, não prova que as equações exatas sejam igualmente sensíveis; isso exige teoria (para os parâmetros clássicos, a prova de Tucker [2]). O lema de sombreamento usual não se aplica ao atrator de Lorenz [6].

$\lambda \approx 0.906$ é uma estimativa estatística: a taxa média a longo prazo com os parâmetros clássicos, calculada independentemente por Sprott [3]; não é uma constante para todos os $\rho$ . «Cem mil vezes mais precisão dão cerca de $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ unidades de tempo adicionais» é uma estimativa para o crescimento exponencial típico; um lançamento isolado pode diferir muito.

Equívocos frequentes

As linhas que parecem cruzar-se na imagem não se cruzam: órbitas diferentes não podem intersectar-se, pois cada estado pertence a uma única órbita. O que se cruza é a sua projeção no ecrã.
O nome «efeito borboleta» e a forma de borboleta do atrator são coisas distintas: o nome vem da conferência de Lorenz de 1972 sobre as asas de uma borboleta e um tornado.
A história de Lorenz introduzir 0.506 em vez de 0.506127 e obter uma previsão diferente ocorreu em 1961, com o seu modelo meteorológico de doze variáveis, não com estas três equações [7].
Em $\rho = 15$ ( $C_\pm$ são estáveis aí), uma nuvem lançada a partir dos inícios desta página não se espalha; contrai-se com a trajetória até um ponto fixo.

História

Lorenz publicou as equações em 1963 como um modelo de convecção drasticamente simplificado, a partir do de Saltzman, e mostrou que as suas soluções são não periódicas e dependem sensivelmente do ponto de partida [1]. O livro de Sparrow de 1982 descreveu como o comportamento varia com $\rho$ [4]. A existência real, nas equações exatas, do atrator visto nos computadores permaneceu em aberto até à prova de Tucker com auxílio de computador (anunciada em 1999, publicada em 2002) [2].

Conceitos relacionados

Aplicação logística · Pêndulo duplo (página planeada) · Atrator estranho (página planeada)

Referências

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Para saber mais: Wikipédia: Lorenz system (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Edward Lorenz (Inglês).