Аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца в этой визуализации

Уравнения Лоренца — три обыкновенных дифференциальных уравнения, которые Эдвард Лоренц получил в 1963 году из модели конвекции [1]. Здесь фиксированы $\sigma = 10$ и $\beta = 8/3$, а $\rho$, нагрев, можно менять. При $\rho = 28$ почти каждое решение в итоге вьётся вокруг одного ограниченного множества в форме бабочки, не замирая и не повторяясь: это аттрактор Лоренца.

Что показывают изображения

Трёхмерное фазовое пространство, большое изображение: каждая точка — состояние $(x, y, z)$. Бледная серая линия — одна длинная траектория из $(1, 1, 1)$; движущаяся точка с хвостом — опорная траектория; синее кольцо — точка запуска. Перетаскивайте для поворота вида; нажмите на хвост, чтобы выбрать место запуска следующего облака.

Красная кнопка Запустить помещает облако стартов вокруг точки запуска, каждый на расстоянии ровно $\varepsilon$ в своём направлении, и отслеживает их все. Цвет точки показывает, насколько она удалилась от опорной. Этот цвет, свечение, следы, затемнение дальней стороны и бледные частицы до запуска служат только отображению.

Экран вверху панели: сверху — $x(t)$ опорной траектории и старта на расстоянии $\varepsilon$, два «прогноза»; жёлтая линия отмечает первое расхождение их $x$ более чем на 1, проверяемое каждые 0.005 единицы времени (выбранный здесь порог расхождения прогнозов, а не встроенная граница системы). Снизу — $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$, среднее логарифма множителя роста расстояния каждой точки (на оси указан множитель), с полосой от 10-го до 90-го процентиля; «типичное расстояние» на индикаторе — геометрическое среднее. При $\rho = 28$ пунктир показывает наклон $\lambda \approx 0.906$, среднее за долгое время, пока расстояние не приблизится к размеру аттрактора.

Повторить запускает снова из той же точки, с теми же направлениями и тем же зерном случайного генератора, при текущем $\varepsilon$; прежняя кривая остаётся бледной для сравнения. Только такой повтор позволяет корректно сравнить два значения $\varepsilon$.

Почему система ведёт себя так

Растяжение и складывание: вблизи аттрактора соседние состояния расходятся в одном направлении и сжимаются в другом; затем поток складывает растянутый лист обратно на себя. Облако показывает оба процесса — сначала нить, затем многократно сложенную нить.

Отображение Лоренца (кнопка окна рядом с $\rho$) сопоставляет каждый максимум $z$ следующему на одной длинной траектории. Точки лежат на тонкой кривой с остриём (Лоренц, 1963, рис. 4) — приближённое одномерное описание, не доказанное точное сведение. При $\rho = 28$ вдали от острия и на одной ветви модуль измеренного наклона больше 1, поэтому два близких максимума на следующем витке расходятся (для двух точек по разные стороны острия это необязательно).

При $\rho > 1$ помимо начала координат есть две неподвижные точки $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$; при $\rho < 1$ начало притягивает каждое решение. $C_\pm$ теряют устойчивость в субкритической бифуркации Хопфа при $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$. Другие значения смены поведения найдены численно: около 13.926 (гомоклинический взрыв у начала координат) и около 24.06 (появление хаотического аттрактора) [4, 5]. Между примерно 24.06 (численно) и $470/19 \approx 24.74$ сосуществуют хаотический аттрактор и две устойчивые неподвижные точки; 99.65 лежит внутри окна периодического поведения, а при 160 решения выходят на периодическую орбиту.

Что означают числа

Изображение — численное приближение траекторий. Ошибки со временем растут, поэтому точное положение через долгое время не служит надёжным прогнозом для заданного начального значения; рост расстояний и долгосрочную статистику нужно отдельно проверять по шагу, точности и выборке.

Каждая траектория интегрируется на вашем компьютере классическим методом Рунге — Кутты четвёртого порядка, с фиксированным шагом 0.005 независимо от частоты кадров и с двойной точностью. Облако интегрируется как разности с опорной траекторией, поэтому даже $\varepsilon = 10^{-12}$ сохраняет свои разряды.

Наблюдаемое расхождение — различие начальных значений при одном и том же численном интеграторе. Само по себе оно не доказывает такую же чувствительность точных уравнений; для этого нужна теория (для классических параметров — доказательство Такера [2]). Обычная лемма о слежении неприменима к аттрактору Лоренца [6].

$\lambda \approx 0.906$ — статистическая оценка: средняя скорость за долгое время при классических параметрах, независимо вычисленная Спроттом [3]; это не константа для каждого $\rho$. «Точность в сто тысяч раз выше даёт ещё около $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ ед. времени» — оценка для типичного экспоненциального роста; отдельный запуск может сильно отличаться.

Что легко понять неверно

• Линии, которые на изображении кажутся пересекающимися, не пересекаются: разные орбиты не могут пересечься, поскольку состояние принадлежит только одной орбите. Пересекаются их проекции на экран.
• Название «эффект бабочки» и форма аттрактора — разные вещи: название происходит из доклада Лоренца 1972 года о крыльях бабочки и торнадо.
• История о том, как Лоренц ввёл 0.506 вместо 0.506127 и получил иной прогноз, произошла в 1961 году с его моделью погоды из двенадцати переменных, а не с этими тремя уравнениями [7].
• При $\rho = 15$ ($C_\pm$ там устойчивы) облако из стартов этой страницы не распространяется; оно сжимается вместе с траекторией к неподвижной точке.

История

Лоренц опубликовал уравнения в 1963 году как резко упрощённую модель конвекции, следуя Зальцману, и показал непериодичность решений и их чувствительность к начальному состоянию [1]. Книга Спарроу 1982 года описала смену поведения с $\rho$ [4]. Вопрос, существует ли наблюдаемый на компьютерах аттрактор для точных уравнений, оставался открытым до компьютерного доказательства Такера (объявлено в 1999, опубликовано в 2002) [2].

Связанные понятия

Логистическое отображение · Двойной маятник (страница планируется) · Странный аттрактор (страница планируется)

Источники

1. E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
2. W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
3. J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
4. C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
5. J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
6. M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
7. E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Дополнительные материалы: Википедия: Lorenz system (Английский); Архив истории математики MacTutor: Edward Lorenz (Английский).