Attrattore di Lorenz: esplorazione interattiva

L’attrattore di Lorenz in questa visualizzazione

Le equazioni di Lorenz sono tre equazioni differenziali ordinarie che Edward Lorenz ricavò nel 1963 da un modello di convezione [1]. Questa pagina mantiene $\sigma = 10$ e $\beta = 8/3$ e permette di variare $\rho$ , il riscaldamento. Per $\rho = 28$ quasi ogni soluzione finisce per avvolgersi attorno allo stesso insieme limitato a forma di farfalla senza mai fermarsi o ripetersi: l’attrattore di Lorenz.

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

Cosa mostrano le immagini

Lo spazio delle fasi 3D, l’immagine grande: ogni punto è uno stato $(x, y, z)$ . Il grigio tenue è una lunga traiettoria da $(1, 1, 1)$ ; il punto in movimento e la sua coda sono la traiettoria di riferimento; l’anello blu è il punto di lancio. Trascina per ruotare la vista; fai clic sulla coda per scegliere dove lanciare la prossima nuvola.

Il tasto rosso Lancia dispone una nuvola di partenze attorno al punto di lancio, ciascuna esattamente a distanza $\varepsilon$ da esso nella propria direzione, e le segue tutte. Il colore di un punto mostra quanto si è allontanato dal riferimento. Quel colore, il bagliore, le scie, l’attenuazione del lato lontano e le particelle tenui che scorrono prima del lancio servono solo alla visualizzazione.

Lo schermo in cima al pannello: sopra, $x(t)$ del riferimento e di una partenza a distanza $\varepsilon$ — due «previsioni»; la linea gialla indica quando i loro $x$ differiscono per la prima volta di oltre 1, verificato ogni 0.005 unità di tempo (una soglia scelta qui per «le previsioni si sono separate», non un limite intrinseco del sistema). Sotto, $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ , la media del logaritmo del fattore di allontanamento di ogni punto (l’asse riporta il fattore), con la fascia dal 10° al 90° percentile dei punti; la «distanza tipica» indicata è la loro media geometrica. Per $\rho = 28$ una linea tratteggiata mostra la pendenza $\lambda \approx 0.906$ , la media a lungo termine, finché la distanza si avvicina alle dimensioni dell’attrattore.

Ripeti lancia di nuovo dallo stesso punto, nelle stesse direzioni e con lo stesso seme casuale, usando l’attuale $\varepsilon$ ; la curva precedente resta tenue per il confronto. Solo una ripetizione di questo tipo confronta equamente due valori di $\varepsilon$ .

Perché si comporta così

Allungamento e ripiegamento: vicino all’attrattore, stati vicini si separano in una direzione e si comprimono in un’altra; il flusso ripiega poi il foglio allungato su sé stesso. La nuvola mostra entrambi i fenomeni — prima un filo, poi un filo ripiegato più e più volte.

La mappa di Lorenz (il tasto della finestra accanto a $\rho$ ) rappresenta ogni massimo di $z$ rispetto al successivo, da una lunga traiettoria. I punti giacciono su una curva sottile con una punta (Lorenz 1963, figura 4) — una descrizione unidimensionale approssimata, non una riduzione esatta dimostrata. Per $\rho = 28$ , lontano dalla cuspide e sullo stesso ramo, la pendenza campionata ha modulo maggiore di 1, quindi due massimi vicini si allontanano al giro successivo (non necessariamente due ai lati opposti della cuspide).

Per $\rho > 1$ , oltre all’origine esistono due punti fissi $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ ; per $\rho < 1$ l’origine attrae ogni soluzione. $C_\pm$ perdono stabilità in una biforcazione di Hopf subcritica in $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ . Altri valori in cui cambia il comportamento sono numerici: circa 13.926 (un’esplosione omoclinica nell’origine) e circa 24.06 (compare l’attrattore caotico) [4, 5]. Tra circa 24.06 (numerico) e $470/19 \approx 24.74$ coesistono l’attrattore caotico e i due punti fissi stabili; 99.65 è all’interno di una finestra di comportamento periodico e a 160 le soluzioni si assestano su un’orbita periodica.

Cosa rappresentano i numeri

L’immagine è un’approssimazione numerica delle traiettorie. Gli errori crescono nel tempo, quindi la posizione esatta dopo molto tempo non è una previsione affidabile per il valore iniziale dato; la crescita delle distanze e le statistiche a lungo termine vanno controllate separatamente rispetto a passo, precisione e campionamento.

Ogni traiettoria viene integrata sul tuo computer con il metodo classico di Runge–Kutta del quarto ordine, passo fisso di 0.005 indipendente dalla frequenza dei fotogrammi, in doppia precisione. La nuvola viene integrata come differenze rispetto alla traiettoria di riferimento, così anche $\varepsilon = 10^{-12}$ conserva le sue cifre.

La dispersione visibile è la differenza tra valori iniziali sotto lo stesso integratore numerico. Da sola non dimostra che le equazioni esatte siano altrettanto sensibili; serve la teoria (per i parametri classici, la dimostrazione di Tucker [2]). Il consueto lemma di ombreggiamento non si applica all’attrattore di Lorenz [6].

$\lambda \approx 0.906$ è una stima statistica: il tasso medio a lungo termine ai parametri classici, calcolato indipendentemente da Sprott [3]; non è una costante per ogni $\rho$ . «Centomila volte più precisione guadagnano circa $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ unità di tempo» è una stima per una crescita esponenziale tipica; un singolo lancio può differire molto.

Possibili equivoci

Le linee che sembrano incrociarsi nell’immagine non lo fanno: orbite diverse non possono incrociarsi, perché uno stato appartiene a una sola orbita. A incrociarsi è la loro proiezione sullo schermo.
Il nome «effetto farfalla» e la forma a farfalla dell’attrattore sono due cose distinte: il nome viene dalla conferenza di Lorenz del 1972 sulle ali di una farfalla e un tornado.
L’episodio in cui Lorenz digitò 0.506 invece di 0.506127 ottenendo una previsione diversa avvenne nel 1961 con il suo modello meteorologico a dodici variabili, non con queste tre equazioni [7].
Per $\rho = 15$ (lì $C_\pm$ sono stabili), una nuvola lanciata dalle partenze di questa pagina non si espande; si restringe insieme alla traiettoria verso un punto fisso.

Storia

Lorenz pubblicò le equazioni nel 1963 come modello di convezione drasticamente semplificato, derivato da quello di Saltzman, e mostrò che le soluzioni sono non periodiche e dipendono sensibilmente dalla partenza [1]. Il libro di Sparrow del 1982 descrisse come cambia il comportamento con $\rho$ [4]. L’esistenza reale dell’attrattore visto al computer per le equazioni esatte restò aperta fino alla dimostrazione assistita dal computer di Tucker (annunciata nel 1999, pubblicata nel 2002) [2].

Concetti collegati

Mappa logistica · Doppio pendolo (pagina in programma) · Attrattore strano (pagina in programma)

Riferimenti

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Per approfondire: Wikipedia: Lorenz system (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Edward Lorenz (Inglese).