Lorenz 吸引子：互動探索

這個視覺化中的 Lorenz 吸引子

Lorenz 方程組是 Edward Lorenz 於 1963 年從對流模型導出的三個常微分方程 [1]。本頁固定 $\sigma = 10$ 與 $\beta = 8/3$ ，讓你調整加熱參數 $\rho$ 。當 $\rho = 28$ 時，幾乎所有解最終都繞行於同一個有界、蝴蝶形的集合，永不靜止，也不重複：這就是 Lorenz 吸引子。

\dot x = \sigma\,(y - x),\qquad \dot y = x\,(\rho - z) - y,\qquad \dot z = xy - \beta z,\qquad \sigma = 10,\ \beta = \tfrac83

各圖顯示什麼

三維相空間，也就是大圖：每一點代表狀態 $(x, y, z)$ 。淡灰色是從 $(1, 1, 1)$ 出發的一條長軌跡；移動點與其尾跡是參考軌跡；藍環是釋放點。拖曳可旋轉視圖；點選尾跡，可選擇下一群點雲的釋放位置。

紅色釋放按鈕會在釋放點周圍放出一群起點，每點沿各自方向，與釋放點精確相距 $\varepsilon$ ，並追蹤所有點。點的顏色表示它偏離參考軌跡多遠。這些色彩、光暈、尾跡、遠側變暗，以及釋放前淡淡流動的粒子，全都只是顯示效果。

面板頂端螢幕：上方是參考軌跡與相距 $\varepsilon$ 起點的 $x(t)$ ，也就是兩個「預測」；黃線標出兩者 $x$ 首次相差超過 1 的時間，每 0.005 個時間單位檢查一次（這是本頁選定的「預測已分離」門檻，不是系統本身的界限）。下方是 $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$ ，也就是各點距離增長倍數的對數平均（座標軸顯示倍數），並附上各點第 10 到第 90 百分位的範圍帶；讀值中的「典型距離」是它們的幾何平均。在 $\rho = 28$ ，虛線顯示長期平均斜率 $\lambda \approx 0.906$ ，直到距離接近吸引子的尺寸。

重播會從相同點、沿相同方向，使用相同隨機種子和目前的 $\varepsilon$ 再釋放一次；先前的曲線會淡淡保留以供比較。只有這樣重播，才能公平比較兩個 $\varepsilon$ 。

為何有這樣的行為

伸長與折疊：在吸引子附近，相近狀態在一個方向被拉開，在另一個方向被擠近；流動再把拉長的薄片折回自身。點雲呈現這兩個過程：先變成細線，再反覆折疊。

Lorenz 映射（ $\rho$ 旁的視窗按鈕）取同一條長軌跡，將 $z$ 的每個極大值與下一個極大值配對作圖。點落在狹窄的尖峰曲線上（Lorenz 1963，圖 4），是近似的一維描述，不是經證明的精確降維。在 $\rho = 28$ ，遠離尖點的同一分支上，取樣斜率的絕對值大於 1，因此原本相近的兩個極大值，下一圈會離得更遠（若分別在尖點兩側，就不一定）。

當 $\rho > 1$ 時，除了原點，還有兩個不動點 $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$ ；當 $\rho < 1$ 時，原點吸引所有解。 $C_\pm$ 在 $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$ 的次臨界 Hopf 分岔中失去穩定性。其他行為改變的參數值來自數值計算：約 13.926（原點的同宿爆發）及約 24.06（混沌吸引子出現）[4, 5]。約 24.06（數值結果）與 $470/19 \approx 24.74$ 之間，混沌吸引子與兩個穩定不動點共存；99.65 位於週期行為窗口內，而在 160 時，解會趨於週期軌道。

這些數字代表什麼

畫面是軌跡的數值近似。誤差隨時間增長，所以長時間後的精確位置，不能視為對指定初始值的可靠預測；距離增長與長期統計必須另外檢查步長、精度及取樣的影響。

每條軌跡都在你的電腦上，以經典四階 Runge–Kutta 法、雙精度計算積分，固定步長 0.005，不受畫面更新率影響。點雲以相對參考軌跡的差值積分，因此即使 $\varepsilon = 10^{-12}$ 也能保留有效位數。

畫面中的散開，是不同起始值在同一個數值積分器下產生的差異。光靠它，不能證明精確方程同樣敏感；這需要理論（經典參數下有 Tucker 的證明 [2]）。通常的陰影引理不適用於 Lorenz 吸引子 [6]。

$\lambda \approx 0.906$ 是統計估計：經典參數下的長期平均速率，由 Sprott 獨立計算 [3]；它不是每個 $\rho$ 都適用的常數。「精度提高十萬倍，約可多預測 $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ 個時間單位」是針對典型指數成長的估計；單次釋放可能差很多。

容易誤解的地方

圖中看似交叉的線，其實沒有相交：不同軌道不能交叉，因為每個狀態只屬於一條軌道。交叉的是它們在螢幕上的投影。
「蝴蝶效應」之名與吸引子的蝴蝶外形是兩回事：名稱來自 Lorenz 於 1972 年談蝴蝶翅膀與龍捲風的演講。
Lorenz 輸入 0.506 而非 0.506127，結果得到不同預報的故事，發生在 1961 年的十二變數天氣模型，不是這三個方程 [7]。
在 $\rho = 15$ （此時 $C_\pm$ 穩定），從本頁起點釋放的點雲不會散開，而是隨軌跡一起收縮到不動點。

歷史

Lorenz 於 1963 年沿用 Saltzman 的研究，發表這組大幅簡化的對流模型方程，並展示其解不具週期性，且敏感依賴起點 [1]。Sparrow 的 1982 年專書描繪了行為如何隨 $\rho$ 改變 [4]。電腦上看到的吸引子，是否真的存在於精確方程中，一直未有定論，直到 Tucker 提出電腦輔助證明（1999 年宣布，2002 年發表）[2]。

參考資料

E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

延伸閱讀: 維基百科: Lorenz system (英文); MacTutor 數學史資料庫: Edward Lorenz (英文).