Atraktor Lorenz

Atraktor Lorenz dalam visualisasi ini

Persamaan Lorenz adalah tiga persamaan diferensial biasa yang diturunkan Edward Lorenz pada 1963 dari model konveksi [1]. Halaman ini mempertahankan $\sigma = 10$ dan $\beta = 8/3$ serta memungkinkan Anda mengubah $\rho$, pemanasan. Pada $\rho = 28$, hampir setiap solusi akhirnya berputar mengelilingi himpunan terbatas berbentuk kupu-kupu yang sama tanpa pernah menetap atau berulang: atraktor Lorenz.

Apa yang ditampilkan gambar

Ruang fase 3D, gambar besar: setiap titik adalah keadaan $(x, y, z)$. Abu-abu samar adalah satu lintasan panjang dari $(1, 1, 1)$; titik bergerak dan jejaknya adalah lintasan acuan; cincin biru adalah titik pelepasan. Seret untuk memutar tampilan; klik jejaknya untuk memilih tempat awan berikutnya dilepaskan.

Tombol merah Luncurkan menempatkan awan titik awal di sekitar titik pelepasan, masing-masing tepat sejauh $\varepsilon$ dalam arahnya sendiri, lalu mengikuti semuanya. Warna titik menunjukkan seberapa jauh titik menyimpang dari acuan. Warna itu, cahaya, jejak, peredupan sisi jauh, serta partikel samar yang mengalir sebelum pelepasan semuanya hanya untuk tampilan.

Layar di bagian atas panel: di atas, $x(t)$ dari acuan dan satu awal sejauh $\varepsilon$ — dua “prakiraan”; garis kuning menandai saat $x$ keduanya pertama kali berbeda lebih dari 1, diperiksa setiap 0.005 satuan waktu (ambang yang dipilih di sini untuk “prakiraan telah berpisah”, bukan batas bawaan sistem). Di bawah, $\frac1m \sum_i \ln\bigl(d_i(t)/d_i(0)\bigr)$, rata-rata logaritma faktor pertambahan jarak tiap titik (sumbu membaca faktornya), dengan pita dari persentil ke-10 hingga ke-90 titik-titik; “jarak tipikal” pada bacaan adalah rata-rata geometriknya. Pada $\rho = 28$, garis putus-putus menunjukkan kemiringan $\lambda \approx 0.906$, rata-rata jangka panjang, hingga jarak mendekati ukuran atraktor.

Putar ulang melepas lagi dari titik yang sama dengan arah sama dan benih acak sama, memakai $\varepsilon$ saat ini; kurva sebelumnya tetap samar untuk perbandingan. Hanya pemutaran ulang seperti ini yang membandingkan dua nilai $\varepsilon$ secara adil.

Mengapa perilakunya demikian

Peregangan dan pelipatan: di dekat atraktor, keadaan yang berdekatan ditarik menjauh dalam satu arah dan dimampatkan dalam arah lain; aliran lalu melipat lembaran yang teregang kembali ke dirinya. Awan menunjukkan keduanya — mula-mula benang, lalu benang yang dilipat berulang kali.

Pemetaan Lorenz (tombol jendela di samping $\rho$) memplot setiap maksimum $z$ terhadap berikutnya, dari satu lintasan panjang. Titik-titik terletak pada kurva tipis berpuncak (Lorenz 1963, gambar 4) — deskripsi satu dimensi pendekatan, bukan reduksi eksak yang terbukti. Pada $\rho = 28$, jauh dari titik lancip dan pada cabang sama, besar kemiringan sampel lebih dari 1, sehingga dua maksimum yang berdekatan menjadi lebih jauh pada putaran berikutnya (dua di sisi berlawanan titik lancip tidak harus demikian).

Untuk $\rho > 1$, selain titik asal, terdapat dua titik tetap $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\ \rho - 1\bigr)$; untuk $\rho < 1$, titik asal menarik setiap solusi. $C_\pm$ kehilangan kestabilan dalam bifurkasi Hopf subkritis pada $\rho = \sigma(\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) = 470/19 \approx 24.74$. Nilai lain tempat perilaku berubah bersifat numerik: sekitar 13.926 (ledakan homoklinik di titik asal) dan sekitar 24.06 (atraktor kacau muncul) [4, 5]. Antara sekitar 24.06 (numerik) dan $470/19 \approx 24.74$, atraktor kacau dan kedua titik tetap stabil berdampingan; 99.65 berada dalam jendela perilaku periodik, dan pada 160 solusi menetap pada orbit periodik.

Makna angka-angkanya

Gambar adalah pendekatan numerik lintasan. Galat membesar seiring waktu, sehingga posisi eksak setelah waktu lama bukan prediksi andal untuk nilai awal yang diberikan; pertumbuhan jarak dan statistik jangka panjang harus diperiksa terpisah terhadap ukuran langkah, ketelitian, dan sampling.

Setiap lintasan diintegralkan pada komputer Anda dengan metode Runge–Kutta klasik orde empat, langkah tetap 0.005 yang tidak bergantung pada laju bingkai, dalam presisi ganda. Awan diintegralkan sebagai selisih dari lintasan acuan, sehingga bahkan $\varepsilon = 10^{-12}$ tetap mempertahankan digitnya.

Penyebaran yang terlihat adalah perbedaan antara nilai awal di bawah integrator numerik yang sama. Itu sendiri tidak membuktikan bahwa persamaan eksak sama pekanya; diperlukan teori (untuk parameter klasik, bukti Tucker [2]). Lema pembayangan biasa tidak berlaku pada atraktor Lorenz [6].

$\lambda \approx 0.906$ adalah estimasi statistik: laju rata-rata jangka panjang pada parameter klasik, dihitung secara independen oleh Sprott [3]; nilainya bukan konstanta untuk setiap $\rho$. “Ketelitian seratus ribu kali lebih tinggi memberi sekitar $\ln 10^5 / 0.906 \approx 12.7$ satuan waktu tambahan” adalah estimasi untuk pertumbuhan eksponensial tipikal; satu pelepasan dapat sangat berbeda.

Mudah disalahartikan

• Garis yang tampak berpotongan pada gambar sebenarnya tidak: orbit berbeda tidak dapat berpotongan karena satu keadaan hanya milik satu orbit. Yang berpotongan adalah bayangannya di layar.
• Nama “efek kupu-kupu” dan bentuk kupu-kupu atraktor adalah dua hal terpisah: namanya berasal dari ceramah Lorenz tahun 1972 tentang sayap kupu-kupu dan tornado.
• Kisah Lorenz mengetik 0.506 alih-alih 0.506127 lalu memperoleh prakiraan berbeda terjadi pada 1961 dengan model cuaca dua belas variabelnya, bukan dengan ketiga persamaan ini [7].
• Pada $\rho = 15$ ($C_\pm$ stabil di sana), awan yang dilepas dari awal pada halaman ini tidak menyebar; awan menyusut bersama lintasan menuju titik tetap.

Sejarah

Lorenz menerbitkan persamaan ini pada 1963 sebagai model konveksi yang sangat disederhanakan, mengikuti Saltzman, dan menunjukkan bahwa solusinya tidak periodik serta peka terhadap tempat mulainya [1]. Buku Sparrow tahun 1982 memetakan perubahan perilaku terhadap $\rho$ [4]. Apakah atraktor yang terlihat di komputer benar-benar ada untuk persamaan eksak tetap terbuka hingga bukti berbantuan komputer Tucker (diumumkan 1999, diterbitkan 2002) [2].

Konsep terkait

Pemetaan logistik · Bandul ganda (halaman direncanakan) · Atraktor aneh (halaman direncanakan)

Referensi

1. E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) 130–141.
2. W. Tucker, “A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem”, Foundations of Computational Mathematics 2 (2002) 53–117.
3. J. C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press (2003).
4. C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Applied Mathematical Sciences 41, Springer (1982).
5. J. L. Kaplan, J. A. Yorke, “Preturbulence: a regime observed in a fluid flow model of Lorenz”, Communications in Mathematical Physics 67 (1979) 93–108.
6. M. Komuro, “Lorenz attractors do not have the pseudo-orbit tracing property”, Journal of the Mathematical Society of Japan 37 (1985) 489–514.
7. E. N. Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press (1993).

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Lorenz system (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: Edward Lorenz (Bahasa Inggris).