Problema dei tre corpi

Ogni corpo è attratto verso ciascuno degli altri da una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza; ponendo la costante gravitazionale e le masse uguali a 1, $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. Il moto di due corpi si riduce a quello di uno attorno al loro centro comune, e la conservazione dell'energia e del momento angolare ne determina il percorso come sezione conica. Tre corpi conservano le stesse grandezze, ma in generale queste non bastano più a esprimere il moto con una formula: lo si calcola passo dopo passo, come fa questa pagina. Le condizioni iniziali appartengono a una sezione descritta da due numeri: i corpi 1 e 2 si trovano in $x = \mp 1$, il corpo 3 fra loro, con velocità $(p, q)$, $(p, q)$ e $(-2p, -2q)$. La quantità di moto e il momento angolare sono quindi nulli e l'energia è data da $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. Ogni punto della mappa rappresenta una condizione iniziale; il colore indica quando il sistema si disgrega.

Un passaggio ravvicinato può legare più strettamente due corpi e trasferire l'energia liberata al terzo. Se ne riceve abbastanza, il terzo si allontana; poiché la quantità di moto è nulla, esso e la coppia si muovono in direzioni opposte, la coppia a metà della sua velocità. La pagina considera il sistema disgregato quando un corpo si trova a più di 5 unità dal centro di una coppia legata e a più di 10 volte la distanza interna della coppia, allontanandosi con energia positiva rispetto a essa. È un criterio, non una dimostrazione: proseguendo di altre 300 unità di tempo 500 di queste separazioni prese dalla mappa, in tutti i casi l'allontanamento è continuato. Delle 72719 condizioni iniziali della mappa con $E < 0$, il 60% porta a una separazione nelle 400 unità di tempo calcolate. All'esterno della circonferenza $p^2 + q^2 = 5/6$ l'energia non è negativa, e l'identità di Lagrange–Jacobi esclude che i tre corpi possano restare sempre insieme: per $I = \sum |\mathbf x_i|^2$ si ha $\ddot I = 4E + 2|U|$, quindi, se le distanze restassero limitate, $|U|$ resterebbe maggiore di un certo $c > 0$ e $I$ crescerebbe senza limite.

Un'orbita periodica ritorna alle proprie condizioni iniziali. Nell'otto, trovato da Cris Moore nel 1993 e la cui esistenza è stata dimostrata da Alain Chenciner e Richard Montgomery nel 2000, i tre corpi si inseguono lungo un'unica curva. Nel 2013 Milovan Šuvakov e Veljko Dmitrašinović trovarono 13 nuove famiglie in questa sezione; quattro sono segnate sulla mappa, con condizioni iniziali memorizzate ad alta precisione. Una piccola deviazione si moltiplica a ogni periodo per un fattore determinato dall'orbita: circa 1 per l'otto e la falena, 1.31 per la libellula, 1.78 per la farfalla e 21 per gli occhiali. Gli occhiali non hanno bisogno di una spinta: i piccoli errori del calcolo stesso crescono finché, dopo circa sette periodi, l'orbita si perde. Il pulsante «Spingi il corpo 1» modifica la velocità del corpo 1 di 0.001, aggiungendo un poco di energia e di momento angolare; l'otto spinto ruota quindi lentamente nel suo insieme. Il registro confronta le forme eliminando questa rotazione.

Newton disse che la Luna, attratta sia dalla Terra sia dal Sole, era l'unico problema che gli facesse venire il mal di testa. Il saggio premiato di Henri Poincaré, pubblicato nel 1890, mostrò perché problemi simili resistono alla soluzione: vicino ad alcune orbite, il moto si ripiega in intrecci che impediscono previsioni a lungo termine, un primo scorcio di ciò che oggi chiamiamo caos. Qui i corpi sono soltanto masse puntiformi uguali in un piano: non hanno dimensioni, collisioni e fusioni non vengono simulate, e questo non è il sistema di tre soli e un pianeta del romanzo di Liu Cixin.