Problème à trois corps

Chaque corps est attiré vers chacun des autres par une force qui décroît comme l’inverse du carré de la distance ; en fixant la constante gravitationnelle et les masses à 1, on obtient $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. Le cas de deux corps se ramène à un corps en orbite autour de leur centre commun ; la conservation de l’énergie et du moment cinétique impose alors une trajectoire conique. Trois corps conservent les mêmes grandeurs, mais celles-ci ne permettent généralement plus de ramener le mouvement à une formule : il se calcule pas à pas, comme sur cette page. Ici, les départs appartiennent à une coupe définie par deux nombres : les corps 1 et 2 sont en $x = \mp 1$, le corps 3 entre les deux, avec les vitesses $(p, q)$, $(p, q)$ et $(-2p, -2q)$. La quantité de mouvement et le moment cinétique sont alors nuls, et l’énergie vaut $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. Chaque point de la carte des conditions initiales représente un départ, coloré selon l’instant où les trois se séparent.

Un passage rapproché peut resserrer une paire et transmettre au troisième corps l’énergie ainsi libérée. S’il en reçoit assez, ce dernier s’en va ; la quantité de mouvement étant nulle, lui et la paire partent dans des directions opposées, la paire à la moitié de sa vitesse. La page considère que les trois se sont séparés lorsqu’un corps se trouve à plus de 5 unités du centre d’une paire liée et à plus de 10 fois la distance entre les membres de cette paire, tout en s’en éloignant avec une énergie relative à celle-ci positive. C’est un critère, pas une preuve : 500 séparations de ce type issues de la carte ont été suivies pendant 300 unités de temps supplémentaires, et l’éloignement s’est poursuivi dans tous les cas. Parmi les 72 719 départs de la carte où $E < 0$, 60 % se séparent au cours des 400 unités de temps calculées. À l’extérieur du cercle $p^2 + q^2 = 5/6$, l’énergie n’est pas négative et l’identité de Lagrange–Jacobi exclut que les corps restent groupés : pour $I = \sum |\mathbf x_i|^2$, on a $\ddot I = 4E + 2|U|$ ; si les distances restaient bornées, $|U|$ resterait au-dessus d’un certain $c > 0$ et $I$ croîtrait sans borne.

Une orbite périodique revient à son propre départ. Sur le huit, découvert par Cris Moore en 1993 et dont Alain Chenciner et Richard Montgomery ont démontré l’existence en 2000, les trois se poursuivent sur une même courbe. Milovan Šuvakov et Veljko Dmitrašinović ont trouvé 13 nouvelles familles dans cette coupe en 2013 ; quatre sont repérées sur la carte et leurs conditions initiales sont conservées avec une grande précision. Un petit écart est multiplié à chaque période par un facteur propre à l’orbite : environ 1 pour le huit et le papillon de nuit, 1,31 pour la libellule, 1,78 pour le papillon et 21 pour les lunettes de protection. Ces dernières n’ont besoin d’aucune impulsion : les minuscules erreurs du calcul lui-même s’amplifient jusqu’à la perte de l’orbite après environ sept périodes. Le bouton « Impulsion au corps 1 » modifie sa vitesse de 0,001, ce qui ajoute un peu d’énergie et de moment cinétique ; le huit ainsi perturbé tourne donc lentement dans son ensemble. Le journal compare les formes en retirant cette rotation.

Newton disait que la Lune, attirée à la fois par la Terre et par le Soleil, était le seul problème qui lui donnait mal à la tête. Le mémoire primé d’Henri Poincaré, publié en 1890, a montré pourquoi de tels problèmes résistent : près de certaines orbites, le mouvement se replie en enchevêtrements qui déjouent les prévisions à long terme, premier aperçu de ce que l’on appelle aujourd’hui le chaos. Les corps représentés ici sont uniquement des masses ponctuelles égales dans un plan : ils n’ont pas de taille, les collisions et les fusions ne sont pas simulées, et ce ne sont pas les trois soleils et l’unique planète du roman de Liu Cixin.