Pendule double

Le pendule double présenté ici comporte deux masses ponctuelles égales sur deux tiges de même longueur, sans masse ni frottement. Les deux angles se mesurent depuis la verticale vers le bas. Dans des unités où $m = l = g = 1$, le temps se mesure en $\sqrt{l/g}$, et l’énergie liée à la hauteur, comptée depuis le pendule au repos vers le bas, vaut

Ici, tu peux lâcher le pendule sans vitesse initiale depuis n’importe quelle position, lâcher ensemble mille pendules presque identiques, et voir quels départs permettent à un bras de passer par le haut et lesquels le font réellement.

Par défaut, 1 000 pendules sont lâchés ensemble, les angles de leurs bras inférieurs répartis sur un millionième de radian. Les traits plus épais sont les tiens, et la trace suit ta masse inférieure. Le petit affichage montre l’énergie, dont le total reste constant pendant les échanges entre hauteur et mouvement, ainsi que les deux angles au fil du temps. Un point rouge apparaît chaque fois qu’un bras passe par le haut.

Les équations du mouvement sont exactes et ne contiennent aucun hasard : le même départ donne toujours le même mouvement. Pourtant, depuis le départ par défaut, (120°, 60°), la masse inférieure la plus éloignée est à plus de 0,1 longueur de bras de la tienne dès $t \approx 33.5$, et le faisceau se disperse bientôt en mouvements nettement différents. Gagner en précision aide peu. Pour ce départ, un écart minuscule est multiplié environ par $e$ toutes les trois unités de temps tant qu’il reste petit. Répartir les bras inférieurs sur seulement $10^{-9}$ radian ne retarde donc la séparation que jusqu’à environ 56. Depuis une petite oscillation, (30°, 30°), le même faisceau ne se sépare presque pas jusqu’à $t = 300$.

Les petites oscillations sont ordonnées. Pour de petits angles, les équations deviennent linéaires et possèdent deux modes propres, dans lesquels les deux bras gardent un même rythme :

Dans le mode lent, les bras oscillent dans le même sens ; dans le rapide, en sens opposés. Toute petite oscillation est un mélange des deux.

L’énergie fixe une limite. Sans frottement, l’énergie totale $E'$ reste constante et l’énergie du mouvement n’est jamais négative : le pendule ne peut donc prendre que des positions vérifiant $V' \le E'$. Pour que le bras inférieur pointe à la verticale vers le haut, $V'$ doit valoir au moins 2 ; pour le bras supérieur, au moins 4. Ce sont les deux repères sur la barre d’énergie du petit affichage. Un pendule lâché au repos a l’énergie de sa position initiale, donc

C’est une preuve, pas une simulation. Entre 2 et 4, seul le bras inférieur peut passer par le haut ; au-dessus de 4, les deux le peuvent. Mais une énergie suffisante ne fait que le permettre : elle ne garantit pas qu’un bras le fera. La ligne bleue en pointillé de la carte des départs indique les positions ayant exactement la même énergie de hauteur que la tienne.

La Carte des départs montre tous les départs au repos à la fois : l’angle du bras supérieur à l’horizontale, celui du bras inférieur à la verticale, et la position pendante au centre. Les cases colorées indiquent quand l’un des bras passe pour la première fois par le haut. Les cases non colorées hors des hachures n’ont pas encore franchi le haut au temps affiché, qui va jusqu’à $t = 60$. Dans la région hachurée, l’énergie l’interdit. Loin des hachures, les couleurs forment de larges bandes. Près d’elles, elles se fragmentent en grains fins : des départs voisins franchissent le haut à des instants très différents. Ce grain vient de la sensibilité au départ ; le temps affiché pour un passage tardif n’est donc qu’approximatif.

La carte ne montre que le premier passage par le haut ; elle ne cartographie pas les mouvements chaotiques. Le chaos n’exige pas qu’un bras passe par le haut : dans les tests de cette page, de nombreux départs d’énergie inférieure à 2 se comportent déjà de façon chaotique.