Fractale du pendule double

La fractale du pendule double est une carte des départs. Chaque point représente un pendule double lâché au repos, dont les coordonnées sont les angles du bras supérieur $\theta_1$ et du bras inférieur $\theta_2$ avec la verticale descendante. Sa couleur indique quand un bras franchit pour la première fois le sommet. Les points clairs basculent tôt, les sombres tard ou pas encore à $t = 60$. C’est une image de temps de premier passage, de même nature que la coloration de l’ensemble de Mandelbrot par temps d’échappement. Ici, vous pouvez voir la carte se révéler, comparer deux départs voisins et l’agrandir.

Le modèle : deux masses ponctuelles égales sur deux tiges sans masse de même longueur, sans frottement, avec $m = l = g = 1$ ; le temps s’exprime donc en unités de $\sqrt{l/g}$.

La lentille centrale ne s’allume jamais, même en attendant plus longtemps. Au départ au repos, toute l’énergie est potentielle, mesurée par rapport au pendule immobile pendant vers le bas,

et elle se conserve pendant le mouvement. Quand le bras inférieur pointe vers le haut, cette énergie vaut au moins 2 ; pour le bras supérieur, au moins 4. Ainsi, partout où $E \le 2$, soit $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$, aucun bras ne peut franchir le sommet. Les courbes pâles dans la lentille relient des départs de même énergie, de $E = 0.25$ près du centre jusqu’au bord à $E = 2$ : elles montrent ce qui manque pour atteindre le sommet. Une énergie suffisante ne garantit pourtant rien : beaucoup de départs juste à l’extérieur n’ont pas basculé à $t = 60$.

De larges bandes lisses côtoient de fins filaments à cause du mouvement précédant le basculement. Dans une bande, le bras inférieur franchit le sommet au premier ou au deuxième grand élan ; le mouvement jusque-là est bref et régulier, et des départs proches le restent jusqu’à basculer ensemble. Le bord entre deux bandes est formé de départs qui atteignent tout juste le sommet : d’un côté le bras passe, de l’autre il retombe et passe un élan plus tard. Dans un filament, le pendule a déjà longtemps oscillé irrégulièrement avant de basculer. Les petits écarts grandissent vite et une différence infime au départ décide quel élan emportera enfin un bras au-delà du sommet.

En agrandissant un filament, on ne retrouve pas simplement le même motif : il se divise en bandes presque parallèles, toujours plus fines et nombreuses, couche après couche. Le bord entre deux bandes précoces reste une ligne nette. La page s’arrête à un grossissement de dix mille. Au-delà, une part croissante des cases basculant tard change avec la méthode de calcul, et l’image ne représenterait plus seulement le pendule.