二重振り子フラクタル

二重振り子フラクタルは初期位置の地図です。各点は一つの二重振り子を表します。上の棒$\theta_1$と下の棒$\theta_2$が鉛直下向きとなす角度を座標とし、そこから静かに放します。色は、どちらかの棒が初めて頂点を越える時刻です。明るい点は早く、暗い点は遅く越えるか、$t = 60$まで越えません。これは初到達時間の図で、マンデルブロ集合の脱出時間による色分けと同じ種類です。ここでは図の現像を見たり、隣り合う二つの初期位置を比べたり、拡大したりできます。

モデルは、等しい二つの質点を同じ長さの質量のない二本の棒につなぎ、摩擦をなくしたものです。$m = l = g = 1$とし、時間の単位を$\sqrt{l/g}$とします。

中央のレンズ形の領域は、いくら待っても光りません。静かに放す瞬間のエネルギーはすべて位置エネルギーで、静止して垂れ下がった状態を基準にすると、

となり、運動中も変わりません。下の棒が真上を向くには位置エネルギーが少なくとも2、上の棒なら少なくとも4必要です。したがって$E \le 2$、すなわち$2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$の場所では、どちらの棒も頂点を越えられません。レンズ形の領域の中の淡い曲線は、中央付近の$E = 0.25$から境界の$E = 2$まで、エネルギーが等しい初期位置を結んでいます。頂点を越えるまでにどれだけ足りないかを示す線です。ただし、エネルギーが足りても越える保証はなく、領域のすぐ外にも$t = 60$まで越えない初期位置が数多くあります。

滑らかな広い帯の隣に細い筋がある理由は、頂点を越える前の運動にあります。帯の中では、下の棒が一回目か二回目の大きな振れで頂点を越えます。それまでの動きは短く規則的で、近い初期位置は近いまま動き、一緒に越えます。そのような二本の帯の境界は、ぎりぎり頂点に届く初期位置です。一方では越え、もう一方では戻ってきて、一振り後に越えます。細い筋の中では、越えるまでにすでに長く不規則に揺れています。小さな違いが急速に大きくなり、初期位置のわずかな差が、どの振れでようやく頂点を越えるかを決めます。

細い筋を拡大しても、単に同じ模様が現れるわけではありません。さらに細く、数の多い、ほぼ平行な帯へと何層にも分かれます。早く越える二本の帯の境界は、拡大してもきれいな線のままです。このページは一万倍で止まります。それより先では、遅く越えるマスの結果が計算方法に左右される割合が増え、図が振り子だけを表すものではなくなるためです。