Fractal do pêndulo duplo

O fractal do pêndulo duplo é um mapa de partidas. Cada ponto é um pêndulo duplo largado do repouso; as suas coordenadas são os ângulos do braço superior $\theta_1$ e do inferior $\theta_2$ com a vertical para baixo. A cor indica quando um dos braços passa pelo topo pela primeira vez. Os pontos claros dão a volta cedo; os escuros dão-na tarde ou ainda não a deram em $t = 60$. É uma imagem de tempos de primeira passagem, do mesmo tipo que a coloração do conjunto de Mandelbrot por tempo de escape. Aqui pode ver o mapa a revelar-se, comparar duas partidas vizinhas e ampliá-lo.

O modelo: duas massas pontuais iguais em duas hastes de igual comprimento e sem massa, sem atrito, com $m = l = g = 1$; assim, o tempo mede-se em unidades de $\sqrt{l/g}$.

A lente central nunca acende, mesmo esperando mais tempo. Ao largar do repouso, toda a energia é potencial, medida em relação à posição imóvel pendurada para baixo,

e mantém-se constante durante o movimento. Com o braço inferior virado para cima, a energia potencial é pelo menos 2; com o superior, pelo menos 4. Assim, onde $E \le 2$, ou seja, $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$, nenhum braço pode passar pelo topo. As curvas ténues dentro da lente ligam partidas de igual energia, desde $E = 0.25$ perto do centro até à borda em $E = 2$: mostram quanto falta para chegar ao topo. Energia suficiente não é, porém, garantia: muitas partidas logo fora da lente ainda não deram a volta em $t = 60$.

Faixas largas e suaves ficam junto de filamentos finos devido ao que acontece antes da volta. Numa faixa, o braço inferior passa pelo topo no primeiro ou no segundo grande balanço; até lá, o movimento é curto e regular e as partidas próximas mantêm-se próximas até passarem juntas. A borda entre duas destas faixas é feita de partidas que mal chegam ao topo: de um lado o braço passa, do outro cai para trás e passa um balanço depois. Num filamento, o pêndulo já oscilou de forma irregular durante muito tempo antes de dar a volta. As pequenas diferenças crescem depressa e uma diferença mínima na partida decide qual o balanço que finalmente levará um braço por cima.

Ampliar um filamento não revela simplesmente o mesmo padrão: ele divide-se em faixas mais finas, mais numerosas e quase paralelas, camada após camada. A borda entre duas faixas de passagem precoce continua a ser uma linha nítida. A página termina nas dez mil vezes. Para além disso, uma parte crescente das células que dão a volta tarde muda com o método de cálculo, e a imagem deixaria de mostrar apenas o pêndulo.