雙擺分形

雙擺分形是一張起點圖。每一點代表一個雙擺：上臂$\theta_1$與下臂$\theta_2$相對於鉛直向下方向的角度，就是這一點的兩個座標。從這裡靜止釋放後，顏色表示任一根臂第一次越過最高點的時刻。亮點較早翻轉，暗點較晚，或直到$t = 60$仍未翻轉。這是一種首達時間圖，與曼德博集合依逃逸時間著色是同一類。在這裡，可以觀看圖像顯影、並排比較相鄰的兩個起點，也可以放大觀察。

模型是兩個質量相同的質點，接在兩根等長、無質量的硬桿上，沒有摩擦。取$m = l = g = 1$，時間單位就是$\sqrt{l/g}$。

中央的透鏡永遠不會亮起，等得更久也沒有用。靜止釋放時，能量全部是位能，以靜止下垂的狀態為基準，

而且運動時保持不變。下臂指向正上方時位能至少為2，上臂朝上時至少為4。因此只要$E \le 2$，也就是$2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$，任一根臂都不可能越過最高點。透鏡內的淡線連結能量相同的起點，從中央附近的$E = 0.25$，一圈圈延伸到邊界的$E = 2$，顯示這些擺距離越過最高點還差多少能量。不過，能量足夠不代表一定會翻轉：緊鄰透鏡外側的許多起點，到$t = 60$仍未翻轉。

平滑寬帶旁邊出現細絲，原因在於翻轉前的運動。寬帶內，下臂在第一次或第二次大幅擺動時就越過最高點。此前的運動短而規律，相近的起點一直保持接近，一起翻轉。兩條這樣的寬帶之間，邊界是剛好能碰到最高點的起點：一側這次就越過去，另一側則落回來，再擺一次才越過去。細絲內的擺在翻轉前已經不規則地擺動很久，細微差異迅速放大，起點的一點差別便決定了哪一次擺動終於能將一根臂帶過最高點。

放大一根細絲，看到的並不是同一個圖案再次出現，而是更多、更細、幾乎平行的帶，一層接一層。兩條早翻轉寬帶之間的邊界，放大後仍是一條清楚的線。本頁在一萬倍停止。超過這裡，晚翻轉的格子有越來越多會隨計算方法改變，畫面便不再只呈現擺本身。