Doppelpendel-Fraktal

Das Doppelpendel-Fraktal ist eine Karte von Starts. Jeder Punkt steht für ein aus der Ruhe losgelassenes Doppelpendel; seine Koordinaten sind die Winkel des oberen Arms $\theta_1$ und des unteren Arms $\theta_2$ zur senkrechten Richtung nach unten. Seine Farbe zeigt, wann erstmals ein Arm über den höchsten Punkt schwingt. Helle Punkte überschlagen sich früh, dunkle spät oder bis $t = 60$ gar nicht. Es ist ein Bild der ersten Durchgangszeit, ähnlich der Färbung der Mandelbrotmenge nach Fluchtzeit. Hier lässt sich die Karte entwickeln, lassen sich benachbarte Starts vergleichen und vergrößern.

Das Modell: zwei gleiche Punktmassen an zwei gleich langen masselosen Stäben, ohne Reibung, mit $m = l = g = 1$. Die Zeiteinheit ist damit $\sqrt{l/g}$.

Die Linse in der Mitte leuchtet niemals auf, auch wenn man länger wartet. Beim Loslassen aus der Ruhe besteht die Energie vollständig aus Höhenenergie, gemessen vom ruhenden, herabhängenden Pendel aus,

und sie bleibt während der Bewegung erhalten. Zeigt der untere Arm senkrecht nach oben, beträgt die Höhenenergie mindestens 2; beim oberen Arm mindestens 4. Überall mit $E \le 2$, also $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$, kann deshalb keiner der Arme über den höchsten Punkt schwingen. Die feinen Kurven in der Linse verbinden Starts gleicher Energie, von $E = 0.25$ nahe der Mitte bis zum Rand bei $E = 2$: Sie zeigen, wie viel bis zum Überschlag fehlt. Genug Energie ist allerdings keine Garantie: Viele Starts knapp außerhalb der Linse haben sich bis $t = 60$ noch nicht überschlagen.

Glatte breite Bänder liegen neben feinen Fäden, weil sich die Bewegung vor dem Überschlag unterscheidet. In einem Band überschlägt sich der untere Arm beim ersten oder zweiten großen Schwung. Die Bewegung davor ist kurz und regelmäßig; nahe Starts bleiben nahe und überschlagen sich gemeinsam. Der Rand zwischen zwei solchen Bändern besteht aus Starts, die den höchsten Punkt gerade erreichen: Auf einer Seite schwingt der Arm darüber, auf der anderen fällt er zurück und schafft es einen Schwung später. In einem Faden hat das Pendel vor dem Überschlag schon lange unregelmäßig geschwungen. Kleine Unterschiede wachsen schnell, und ein winziger Startunterschied entscheidet, welcher Schwung einen Arm schließlich darüberträgt.

Vergrößert man einen Faden, erscheint nicht einfach dasselbe Muster erneut: Er zerfällt in immer mehr, dünnere, fast parallele Bänder, Schicht für Schicht. Der Rand zwischen zwei frühen Bändern bleibt beim Vergrößern eine klare Linie. Die Seite endet bei zehntausendfacher Vergrößerung. Darüber hinaus ändern sich immer mehr spät überschlagende Zellen mit dem Rechenverfahren; das Bild würde nicht mehr allein das Pendel zeigen.