Doppelpendel

Das Doppelpendel hier besteht aus zwei gleichen Punktmassen an zwei gleich langen, masselosen Stäben, ganz ohne Reibung. Beide Winkel werden von der senkrecht nach unten gerichteten Lage aus gemessen. In Einheiten mit $m = l = g = 1$ wird die Zeit in $\sqrt{l/g}$ gemessen. Die Höhenenergie, bezogen auf das ruhend herabhängende Pendel, ist

Hier kannst du das Pendel aus jeder Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit loslassen, tausend fast gleiche Pendel zugleich starten und sehen, welche Anfangslagen einen Überschlag erlauben und bei welchen er tatsächlich auftritt.

Standardmäßig werden 1 000 Pendel gleichzeitig losgelassen. Die Anfangswinkel ihrer unteren Arme verteilen sich über ein Millionstel Radiant. Die dickeren Linien zeigen dein Pendel; die Spur folgt seiner unteren Masse. Die kleine Anzeige zeigt die Energie, deren Gesamtbetrag bei der Umwandlung zwischen Höhe und Bewegung gleich bleibt, sowie beide Winkel im Zeitverlauf. Jedes Mal, wenn ein Arm den oberen Punkt überschreitet, erscheint ein roter Punkt.

Die Bewegungsgleichungen sind exakt und enthalten keinen Zufall: Derselbe Anfangszustand führt immer zur selben Bewegung. Doch beim voreingestellten Start (120°, 60°) ist die am weitesten entfernte untere Masse bis $t \approx 33.5$ schon mehr als 0,1 Armlängen von deiner entfernt. Bald zeigt das Bündel deutlich verschiedene Bewegungen. Mehr Genauigkeit bringt wenig. Bei diesem Start wächst ein winziger Unterschied, solange er klein bleibt, ungefähr alle drei Zeiteinheiten um den Faktor $e$. Verteilt man die unteren Arme stattdessen nur über $10^{-9}$ Radiant, verschiebt sich das Auseinanderlaufen lediglich auf etwa 56. Bei einer kleinen Auslenkung, (30°, 30°), läuft dasselbe Bündel bis $t = 300$ kaum auseinander.

Kleine Schwingungen verlaufen geordnet. Für kleine Winkel werden die Gleichungen linear und haben zwei Normalmoden, in denen beide Arme jeweils im selben Rhythmus bleiben:

In der langsamen Mode schwingen die Arme gleichsinnig, in der schnellen gegensinnig. Jede kleine Schwingung ist eine Überlagerung der beiden.

Die Energie setzt Grenzen. Ohne Reibung bleibt die Gesamtenergie $E'$ gleich, und die Bewegungsenergie ist nie negativ. Daher kann das Pendel nur Lagen mit $V' \le E'$ einnehmen. Damit der untere Arm senkrecht nach oben zeigt, muss $V'$ mindestens 2 betragen; für den oberen mindestens 4. Das sind die beiden Markierungen am Energiebalken. Ein aus der Ruhe losgelassenes Pendel hat die Energie seiner Anfangslage, also gilt:

Das ist ein Beweis, keine Simulation. Zwischen 2 und 4 kann nur der untere Arm überschlagen, über 4 können es beide. Doch ausreichend Energie macht einen Überschlag nur möglich; sie garantiert ihn nicht. Die blaue gestrichelte Linie auf der Startkarte markiert die Lagen mit genau derselben Höhenenergie wie deine.

Die Startkarte zeigt alle Starts aus der Ruhe auf einmal: waagerecht den Winkel des oberen Arms, senkrecht den des unteren, mit der herabhängenden Lage in der Mitte. Farbige Zellen zeigen, wann erstmals einer der Arme den oberen Punkt überschreitet. Ungefärbte Zellen außerhalb der Schraffur haben sich bis zur angezeigten Zeit noch nicht überschlagen; die Anzeige reicht bis $t = 60$. In der schraffierten Region verbietet die Energie einen Überschlag. Fern der Schraffur bilden die Farben breite Bänder. In ihrer Nähe zerfallen sie in feine Körnung: Benachbarte Anfangslagen führen zu sehr unterschiedlichen Überschlagszeiten. Diese Körnung entsteht durch die Empfindlichkeit gegenüber dem Anfangszustand. Deshalb ist die angezeigte Zeit eines späten Überschlags nur ein Näherungswert.

Die Karte zeigt nur den ersten Überschlag, nicht die Gebiete chaotischer Bewegung. Chaos braucht keinen Überschlag: In den Tests dieser Seite verhalten sich schon viele Anfangszustände mit einer Energie unter 2 chaotisch.