이중 진자

여기서 이중 진자는 같은 질량의 두 질점을 길이가 같고 질량이 없는 두 막대에 연결한 것으로, 마찰이 없습니다. 두 각도는 모두 수직 아래 방향을 기준으로 잽니다. $m = l = g = 1$인 단위를 쓰면 시간 단위는 $\sqrt{l/g}$이며, 진자가 가만히 아래로 늘어진 상태를 기준으로 한 높이의 에너지는

여기서는 어떤 자세에서든 정지한 진자를 놓고, 거의 같은 진자 천 개를 함께 풀어 놓으며, 어떤 초기 자세에서 막대가 꼭대기를 넘어갈 수 있는지와 실제로 넘어가는지를 볼 수 있습니다.

기본 설정에서는 아래쪽 막대의 초기 각도를 백만분의 일 라디안 범위에 분포시킨 진자 1,000개를 함께 놓습니다. 굵은 선이 내 진자이며, 궤적은 그 아래쪽 추를 따라갑니다. 작은 화면은 높이와 운동 사이에서 전환되어도 총량이 일정한 에너지와 두 각도의 시간 변화를 보여 줍니다. 막대가 꼭대기를 지날 때마다 빨간 점이 찍힙니다.

운동 방정식은 정확하고 무작위 요소가 없습니다. 같은 초기 상태는 언제나 같은 운동을 만듭니다. 하지만 기본 초기 상태인 (120°, 60°)에서는 $t \approx 33.5$까지 가장 멀리 있는 아래쪽 추가 내 추에서 막대 길이의 0.1배보다 더 멀리 떨어지고, 진자 묶음은 곧 뚜렷이 다른 움직임으로 흩어집니다. 정밀도를 높여도 얻는 시간은 많지 않습니다. 이 초기 상태에서 아주 작은 차이는 아직 작은 동안 시간이 3만큼 지날 때마다 약 $e$배로 커집니다. 따라서 아래쪽 막대의 각도 범위를 $10^{-9}$라디안으로 좁혀도 갈라지는 시각을 약 56까지 늦출 뿐입니다. 작은 진동인 (30°, 30°)에서 시작하면 같은 묶음은 $t = 300$까지 거의 갈라지지 않습니다.

작은 진동은 규칙적입니다. 각도가 작으면 방정식은 선형이 되며, 두 막대가 같은 리듬을 유지하는 두 가지 고유 진동 모드가 있습니다.

느린 모드에서는 두 막대가 같은 방향으로, 빠른 모드에서는 반대 방향으로 흔들립니다. 작은 진동은 모두 이 둘의 조합입니다.

에너지는 움직일 수 있는 범위에 울타리를 칩니다. 마찰이 없으면 총에너지 $E'$는 일정하고 운동 에너지는 음수가 될 수 없으므로, 진자는 $V' \le E'$인 자세만 취할 수 있습니다. 아래쪽 막대가 수직 위를 향하려면 $V'$가 적어도 2, 위쪽 막대는 적어도 4여야 합니다. 작은 화면의 에너지 막대에 있는 두 눈금이 이 값입니다. 정지 상태에서 놓은 진자의 에너지는 초기 자세의 높이 에너지이므로,

이것은 시뮬레이션이 아니라 증명입니다. 에너지가 2와 4 사이이면 아래쪽 막대만 꼭대기를 넘어갈 수 있고, 4보다 크면 둘 다 가능합니다. 하지만 에너지가 충분하다는 것은 가능하다는 뜻일 뿐, 실제로 넘어간다는 뜻은 아닙니다. 초기 자세 지도의 파란 파선은 내 초기 자세와 높이 에너지가 정확히 같은 자세들을 표시합니다.

초기 자세 지도는 정지 상태에서 출발하는 모든 자세를 한꺼번에 보여 줍니다. 가로축은 위쪽 막대의 각도, 세로축은 아래쪽 막대의 각도이며, 아래로 늘어진 자세가 중앙입니다. 색이 있는 칸은 어느 한 막대가 처음 꼭대기를 넘어가는 시각을 나타냅니다. 빗금 영역 밖에서 색이 없는 칸은 표시된 시각까지 아직 넘어가지 않았다는 뜻이며, 표시는 최대 $t = 60$까지 진행됩니다. 빗금 영역은 에너지가 꼭대기를 넘지 못하게 하는 곳입니다. 빗금에서 멀리 떨어진 곳은 색이 넓은 띠를 이루지만, 가까운 곳은 미세한 알갱이처럼 흩어집니다. 그곳에서는 이웃한 초기 자세도 매우 다른 시각에 꼭대기를 넘습니다. 이 무늬는 초기 상태에 민감하기 때문에 생기므로, 한참 뒤에 일어나는 통과의 표시 시각은 근삿값입니다.

지도는 첫 번째 통과만 보여 주며, 운동이 어디서 혼돈적인지를 나타내는 지도는 아닙니다. 혼돈이 생기려면 막대가 꼭대기를 넘어야 하는 것은 아닙니다. 이 페이지의 검증에서는 에너지가 2보다 작은 많은 초기 상태도 이미 혼돈적인 거동을 보입니다.