이상 끌개

끌개는 그 근처에서 출발한 궤도가 점점 더 가까이 다가가고 가까이에 머무는 집합입니다. 확대할 때마다 새로운 세부 구조가 드러나는 프랙털 구조를 가지면 이상 끌개라고 부릅니다. 어떤 저자들은 모든 혼돈 끌개에 이 용어를 쓰지만, 여기서는 프랙털 구조를 가진 경우를 뜻합니다. 이 페이지에서는 최대 랴푸노프 지수의 추정값이 양수인 것을 혼돈의 수치적 지표로 사용합니다($\lambda_1 > 0$).

이 페이지의 모든 사상은 평면의 각 점을 새로운 점으로 보내는 규칙을 거듭 적용하는 것입니다. 시간은 이산적이며, 점은 매 단계마다 뛰어 이동합니다. 밝은 그림은 긴 궤도가 각 픽셀을 얼마나 자주 방문하는지를 나타내는 장기 밀도입니다. 즉, 끌개가 어떻게 방문되는지에 대한 통계적 추정입니다. 빛과 색은 표시를 위한 효과일 뿐입니다.

Hénon(1976)은 세 가지 동작으로 자신의 사상을 만들었습니다. 굽히기 $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, 압축하기 $(x, y) \to (b x,\, y)$, 뒤집기 $(x, y) \to (y, x)$입니다. 이들을 합치면 $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$가 됩니다. 굽히기와 뒤집기는 면적을 보존하고, 압축하기는 면적을 $|b|$배로 만듭니다. 따라서 $b = 0.3$에서는 모든 영역의 면적이 매 단계마다 정확히 0.3배가 되며, 12단계 후에는 처음의 $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$만큼 남아 여전히 양수입니다. 포획 영역에 사상을 무한히 반복 적용하면 면적이 0인 극한 집합을 얻습니다. 가까운 궤도들은 서로 가까이 있는 동안 평균적으로 지수적으로 멀어지므로($\lambda_1 \approx 0.42$, 수치 계산), 영역은 더 길고 얇은 띠가 되고 그 띠가 거듭 자신 위로 접히면서 층을 이룹니다.

놓아주기는 시작점 무리의 처음 12단계를 보여 줍니다. 흡인 영역 안의 점들은 장기적으로 끌개에 다가가지만, 일반적으로 유한한 단계 안에 끌개 위에 놓이지는 않습니다. 따라서 12단계가 끝나도 도착한 것은 아닙니다. 퇴화하는 매개변수는 예외입니다. $u = 0$에서 Ikeda 사상은 한 단계 만에 모든 점을 고정점 $(1,\ 0)$로 보냅니다. $a = 1.4,\ b = 0.3$에서 Hénon의 사각형은 그 상이 자신의 내부에 놓이므로 어떤 점도 벗어나지 않습니다. 다른 매개변수에서는 점 무리가 끌리는 영역 밖까지 걸쳐 있을 수 있으며, 그 점들은 탈출합니다. Ikeda 사상은 비틀기, 축소하기(면적 $\times u^2$), 평행이동으로 분해됩니다. Clifford 사상은 단순한 동작들로 분해되지 않습니다.

12단계 후에도 같은 점들이 수백 단계를 더 진행하며, 각 위치의 방문 횟수가 쌓여 밝기로 나타납니다. 페이지는 현재 화면 안의 성긴 격자에서 정규화된 방문 횟수를 장기 밀도와 비교하고 측정된 차이를 알려 줍니다. 차이가 작다는 것은 그 해상도에서 얻은 수치적 관찰이지, 점들이 끌개에 도착했다는 증명이 아닙니다. 다른 시작 영역은 다른 끌개에 다가가거나 탈출할 수 있습니다.

안장점 $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$ 근처에서 선형화된 사상은 매 단계마다 한 방향을 수축시키며, 그 배율은 $\mu_s \approx 0.156$입니다. 깊이 들어가기는 그 역수인 약 $1/\mu_s \approx 6.41$를 사용해 P 주변의 연속적인 확대 배율을 정합니다. 이를 통해 서로 연관된 배율에서 이웃한 층을 비교할 수 있습니다. 이 승수는 국소적인 안정 방향을 설명할 뿐, 균일하게 확대할 때 전체 그림이 반복된다는 것을 증명하지는 않습니다. 표시된 층은 유한한 수치 표본입니다.

1과 2 사이의 차원은 층 구조의 정도를 나타냅니다. Hénon 끌개의 Kaplan–Yorke 차원 $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$는 약 1.26이며, 컴퓨터로 도달할 수 있는 척도에서 상자 세기를 하면 약 1.2에서 1.26을 얻습니다. 서로 다른 두 추정값이며, 둘 다 수치적으로 구한 값입니다.

‘이상 끌개’라는 제목의 많은 포스터는 Clifford 사상처럼 $\det J = 0$인 곡선을 따라 평면을 접는 사상을 사용합니다. 실처럼 가느다란 밝은 선은 접힌 곡선들의 상인 임계 곡선 위에 놓입니다. 그곳에 밀도가 쌓이는 것입니다. 이 페이지의 매개변수에서는 $\lambda_1 > 0$이므로 궤도가 혼돈 상태이지만, $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$이고 계산한 척도에서 상자 세기 결과는 2에 가깝습니다. 이 수치들은 층 구조를 보여 주지 않지만, 끌개가 면적을 채운다는 것을 증명하지도 않습니다. 혼돈 상태가 아닌 이상 끌개도 존재합니다(Grebogi 외, 1984).

컴퓨터 그림만으로는 이상 끌개와 주기가 매우 긴 순환을 구별할 수 없습니다. Benedicks와 Carleson(1991)은 $a = 2$ 근처에서 $b$가 작은 많은 매개변수에 대해 Hénon 사상에 이상 끌개가 존재함을 증명했습니다. 고전적인 $a = 1.4,\ b = 0.3$에 대해서는 인정된 증명이 없습니다. Misiurewicz(1980)는 $(1.75,\, 0.3)$를 포함하지만 Lozi가 사용한 $(1.7,\, 0.5)$는 포함하지 않는 매개변수 범위에서 Lozi 사상 $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$에 이상 끌개가 존재함을 증명했습니다. Tucker(2002)는 Lorenz 끌개가 이상 끌개임을 증명했습니다. $b = 0$이면 한 단계 만에 모든 점이 직선 $y = 0$ 위에 놓이며, 그 위에서 Hénon 사상은 $x \to 1 - a x^2$입니다. $a > 0$인 경우 이는 좌표를 바꾸어 표현한 로지스틱 사상입니다($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03로지스틱 사상
• WA01로렌츠 끌개
• WB01망델브로 집합

더 읽어 보기: Wikipedia: Attractor (영어); Wikipedia: Hénon map (영어).