Garip çekici

Çekici, yakınında başlayan yörüngelerin giderek yaklaştığı ve yakınında kaldığı bir kümedir; her büyütmede yeni ayrıntılar gösteren fraktal bir yapısı varsa garip olarak adlandırılır. Bazı yazarlar bu sözcüğü her kaotik çekici için kullanır; burada ise fraktal olan türü ifade eder. Sayfa, en büyük Lyapunov üstelinin pozitif bir tahminini kaosun sayısal bir göstergesi olarak kullanır ($\lambda_1 > 0$).

Bu sayfadaki her dönüşüm, düzlemin her noktasını yeni bir noktaya gönderen ve tekrar tekrar uygulanan bir kuraldır: zaman ayrıktır ve nokta her adımda sıçrar. Parlak resim, uzun vadeli yoğunluğu, yani uzun yörüngelerin her piksele ne sıklıkla uğradığını gösterir: çekicinin nasıl ziyaret edildiğinin istatistiksel bir tahminidir. Parıltı ve renkler yalnızca gösterim içindir.

Hénon (1976) dönüşümünü üç işlemden oluşturdu: bükme $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, sıkıştırma $(x, y) \to (b x,\, y)$ ve yansıtma $(x, y) \to (y, x)$. Birlikte $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$ sonucunu verirler. Bükme ve yansıtma alanı korur; sıkıştırma ise alanı $|b|$ ile çarpar. Dolayısıyla $b = 0.3$ için her bölgenin alanı her adımda tam olarak öncekinin 0.3 katı olur ve 12 adım sonra alanın $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$ kadarı kalır; bu hâlâ pozitiftir. Noktaları içinde tutan bölgeye dönüşümü sonsuza dek uygulamak, alanı sıfır olan bir limit kümesi verir. Yakın yörüngeler, yakın kaldıkları sürece ortalama olarak üstel biçimde ayrılır ($\lambda_1 \approx 0.42$, sayısal); böylece bir bölge, tekrar tekrar kendi üzerine katlanan, giderek uzayan ve incelen bir şeride dönüşür: katmanlar oluşur.

Serbest bırak, bir bölgedeki başlangıç noktalarının ilk 12 adımını gösterir. Havzadaki noktalar uzun vadede çekiciye yaklaşır, ancak genellikle sonlu sayıda adımda üzerine düşmez; dolayısıyla 12 adımın sonu bir varış değildir. Dejenere parametreler istisnadır: $u = 0$ için Ikeda dönüşümü her noktayı tek adımda sabit noktası $(1,\ 0)$ konumuna gönderir. $a = 1.4,\ b = 0.3$ için Hénon'un dörtgeninden hiçbir nokta çıkmaz, çünkü dörtgenin görüntüsü kendi içinde kalır; başka parametrelerde başlangıç bölgesi, çekilen bölgenin dışına taşabilir ve bu noktalar kaçar. Ikeda dönüşümü burma, küçültme (alan $\times u^2$) ve öteleme işlemlerine ayrılır; Clifford dönüşümü ise basit işlemlere ayrılmaz.

12 adımdan sonra aynı noktalar birkaç yüz adım daha ilerler ve uğradıkları yerler birikerek parlaklığa dönüşür. Sayfa, geçerli görünüm içindeki kaba bir ızgarada bu noktaların normalize edilmiş uğrama sayılarını uzun vadeli yoğunlukla karşılaştırır ve ölçülen farkı bildirir. Küçük bir fark, o çözünürlükte sayısal bir gözlemdir; noktaların çekiciye ulaştığının kanıtı değildir. Başka başlangıç bölgeleri başka bir çekiciye yaklaşabilir veya kaçabilir.

$P \approx (0.6314,\, 0.1894)$ eyer noktasının yakınında doğrusallaştırılmış dönüşüm, bir yönü her adımda $\mu_s \approx 0.156$ çarpanıyla daraltır. Derine in, P çevresindeki ardışık büyütmeleri seçmek için bu çarpanın tersini, yaklaşık $1/\mu_s \approx 6.41$ değerini kullanır. Bu, yakın katmanları birbiriyle ilişkili ölçeklerde karşılaştırmanızı sağlar. Çarpan, yerel kararlı yönü tanımlar; tüm resmin her yönde eşit yakınlaştırma altında tekrarlandığını kanıtlamaz. Gösterilen katmanlar sonlu sayısal örneklerdir.

1 ile 2 arasındaki bir boyut, katmanlaşmayı ölçer. Kaplan–Yorke boyutu $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$, Hénon çekicisi için yaklaşık 1.26'dır; bilgisayarın ulaşabildiği ölçeklerde kutu sayımı ise yaklaşık 1.2 ile 1.26 arasında sonuç verir. Bunlar, ikisi de sayısal olan iki farklı tahmindir.

“Garip çekici” başlıklı birçok poster, Clifford dönüşümü gibi düzlemi $\det J = 0$ olan eğriler boyunca katlayan dönüşümler kullanır. Parlak iplikçikler bu katlanmaların görüntüleri olan kritik eğrilerin üzerinde bulunur: yoğunluk oralarda birikir. Bu sayfadaki parametreler için $\lambda_1 > 0$, dolayısıyla yörünge kaotiktir; ancak $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ olur ve kutu sayımı hesaplanan ölçeklerde 2'ye yakın bir sonuç verir. Bu sayılar katmanlaşma göstermez, ancak çekicinin bir alanı doldurduğunu da kanıtlamaz. Kaotik olmayan garip çekiciler de vardır (Grebogi ve diğerleri, 1984).

Bir bilgisayar görüntüsü, garip bir çekiciyi çok uzun periyotlu bir döngüden ayıramaz. Benedicks ve Carleson (1991), küçük $b$ değerleriyle $a = 2$ yakınındaki birçok parametre için Hénon dönüşümünün garip çekicilere sahip olduğunu kanıtladı; klasik $a = 1.4,\ b = 0.3$ için kabul edilmiş bir kanıt yoktur. Misiurewicz (1980), Lozi dönüşümü $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ için $(1.75,\, 0.3)$ değerlerini içeren, ancak Lozi'nin kendi kullandığı $(1.7,\, 0.5)$ değerlerini içermeyen bir parametre aralığında garip çekicilerin varlığını kanıtladı. Tucker (2002), Lorenz çekicisinin bir garip çekici olduğunu kanıtladı. $b = 0$ olduğunda tek adım her noktayı $y = 0$ doğrusuna getirir; bu doğru üzerinde Hénon dönüşümü $x \to 1 - a x^2$ biçimindedir. $a > 0$ için bu, başka koordinatlarda yazılmış lojistik dönüşümdür ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Lojistik dönüşüm
• WA01Lorenz çekicisi
• WB01Mandelbrot kümesi

Ek okumalar: Vikipedi: Attractor (İngilizce); Vikipedi: Hénon map (İngilizce).