ストレンジアトラクター

アトラクターとは、近くから出発した軌道が限りなく近づき、その近くにとどまる集合です。フラクタル構造を持ち、拡大するたびに新しい細部が現れるものをストレンジアトラクターと呼びます。カオス的なアトラクター全般にこの言葉を使う著者もいますが、ここではフラクタル構造を持つものを指します。このページでは、最大リアプノフ指数の推定値が正であることを、カオスの数値的な指標として使います（$\lambda_1 > 0$）。

このページの写像はどれも、平面上の各点を新しい点へ移す規則を繰り返し適用するものです。時間は離散的で、点はステップごとに跳び移ります。明るい画像は長期的な密度、つまり長い軌道が各ピクセルを訪れる頻度を表しています。これはアトラクター上がどのように訪れられるかの統計的な推定です。光のにじみや色は、表示上の表現にすぎません。

Hénon（1976）は、曲げる$(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$、圧縮する$(x, y) \to (b x,\, y)$、反転する$(x, y) \to (y, x)$という3つの動きから写像を作りました。これらを組み合わせると$x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$になります。曲げる操作と反転する操作は面積を保ち、圧縮する操作は面積を$|b|$倍にします。したがって$b = 0.3$では、どの領域の面積も各ステップで正確に0.3倍になり、12ステップ後には元の$0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$倍が残ります。これはまだ正の値です。閉じ込め領域に写像を無限に反復適用すると、面積が0の極限集合が得られます。近接する軌道は、互いに近い間は平均的に指数関数的に離れていくため（$\lambda_1 \approx 0.42$、数値計算）、領域はより長く細い帯になり、何度も繰り返し折り返されます。これが層を作ります。

「点を放つ」では、出発点の集まりの最初の12ステップを表示します。吸引域内の点は長期的にはアトラクターに近づきますが、一般に有限回のステップでその上に乗るわけではないため、12ステップの終わりは到着ではありません。例外は退化したパラメータの場合です。$u = 0$では、Ikeda写像はすべての点を1ステップで固定点$(1,\ 0)$へ移します。$a = 1.4,\ b = 0.3$でのHénonの四辺形は、その像が自身の内部に収まるため、どの点も外に出ません。他のパラメータでは、出発点の領域が引き寄せられる領域の外にまで及ぶことがあり、それらの点は逃走します。Ikeda写像は、「ねじる」、「縮小する」（面積$\times u^2$）、「平行移動する」という操作に分解できます。Clifford写像は単純な動きには分解できません。

12ステップの後も同じ点群がさらに数百ステップ進み、訪れた場所の回数を積み重ねて明るさに変えます。このページでは、現在の表示範囲内の粗い格子上で、正規化した訪問回数と長期的な密度を比較し、測定した差を表示します。差が小さいというのは、その解像度での数値的な観察結果であり、点がアトラクターに到達した証明ではありません。別の領域から出発すると、別のアトラクターに近づいたり、逃走したりすることがあります。

鞍点$P \approx (0.6314,\, 0.1894)$の近くでは、線形化した写像は、1ステップごとにある方向を$\mu_s \approx 0.156$倍に収縮させます。「潜り込む」では、その逆数である約$1/\mu_s \approx 6.41$を使い、Pの周りの拡大率を順に決めます。これにより、関連するスケールで近くの層を比較できます。この乗数が表すのは局所的な安定方向であり、一様な拡大によって図全体が繰り返されることの証明ではありません。表示される層は、有限個の数値サンプルです。

1と2の間の次元は、層の重なり具合を測るものです。HénonアトラクターのKaplan–Yorke次元$1 + \lambda_1/|\lambda_2|$は約1.26で、コンピューターで扱えるスケールでボックスを数えると約1.2から1.26になります。これらは異なる2種類の推定で、どちらも数値的なものです。

「ストレンジアトラクター」と題されたポスターの多くは、Clifford写像のように、$\det J = 0$となる曲線に沿って平面を折り畳む写像を使っています。明るい糸状の模様は、その折り目の像である臨界曲線上に現れます。そこに密度が集中するのです。このページのパラメータでは$\lambda_1 > 0$なので軌道はカオス的ですが、$\lambda_1 + \lambda_2 > 0$であり、計算したスケールでのボックスカウントによる次元も2に近くなります。これらの数値には層構造は現れていませんが、アトラクターが面領域を埋め尽くすことの証明でもありません。また、カオス的でないストレンジアトラクターもあります（Grebogiほか、1984）。

コンピューターの画像だけでは、ストレンジアトラクターと非常に長い周期のサイクルを区別できません。BenedicksとCarleson（1991）は、$a = 2$の近くで$b$が小さい多くのパラメータについて、Hénon写像にストレンジアトラクターが存在することを証明しました。標準的な$a = 1.4,\ b = 0.3$については、認められた証明がありません。Misiurewicz（1980）は、Lozi写像$x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$について、$(1.75,\, 0.3)$を含む一方でLozi自身の$(1.7,\, 0.5)$は含まないパラメータ範囲で、ストレンジアトラクターの存在を証明しました。Tucker（2002）は、Lorenzアトラクターがストレンジアトラクターであることを証明しました。$b = 0$では、1ステップですべての点が直線$y = 0$上に移り、そこでHénon写像は$x \to 1 - a x^2$となります。$a > 0$の場合、これは座標を変えたロジスティック写像です（$a = r(r - 2)/4$、$r > 2$）。

• WA03ロジスティック写像
• WA01ローレンツアトラクター
• WB01マンデルブロ集合

さらに読む: ウィキペディア: Attractor (英語); ウィキペディア: Hénon map (英語).