Странный аттрактор

Аттрактор — это множество, к которому орбиты, начинающиеся рядом с ним, подходят всё ближе и остаются вблизи; его называют странным, если у него фрактальная структура, открывающая новые детали при каждом увеличении. Некоторые авторы называют так любой хаотический аттрактор; здесь имеется в виду именно фрактальный. На странице положительная оценка наибольшего показателя Ляпунова используется как численный признак хаоса ($\lambda_1 > 0$).

Каждое отображение на этой странице — правило, переводящее каждую точку плоскости в новую точку и применяемое снова и снова: время дискретно, и на каждом шаге точка совершает скачок. Яркое изображение — это плотность длинных орбит, то есть частота их попадания в каждый пиксель: статистическая оценка посещений аттрактора. Свечение и цвета служат только для визуализации.

Hénon (1976) построил своё отображение из трёх преобразований: изгиб $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, сжатие $(x, y) \to (b x,\, y)$ и отражение $(x, y) \to (y, x)$. Вместе они дают $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. Изгиб и отражение сохраняют площадь; сжатие умножает её на $|b|$. Поэтому при $b = 0.3$ площадь любой области на каждом шаге умножается ровно на 0.3, а через 12 шагов остаётся $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$ от неё — всё ещё положительная величина. Бесконечное итерирование захватывающей области даёт предельное множество нулевой площади. Близкие орбиты в среднем расходятся экспоненциально, пока остаются близкими ($\lambda_1 \approx 0.42$, численный результат), поэтому область превращается во всё более длинную и тонкую полосу, которая снова и снова складывается сама на себя, образуя слои.

Кнопка «Запустить» показывает первые 12 шагов области начальных точек. Точки в бассейне аттрактора приближаются к нему при долгом повторении, обычно не попадая на него за конечное число шагов, поэтому окончание 12 шагов не означает прибытия; исключение — вырожденные параметры: при $u = 0$ отображение Ikeda за один шаг переводит все точки в свою неподвижную точку $(1,\ 0)$. Из четырёхугольника Hénon при $a = 1.4,\ b = 0.3$ ни одна точка не выходит, поскольку его образ лежит внутри него; при других параметрах начальная область может выходить за пределы области притяжения, и такие точки уходят. Отображение Ikeda разлагается на закручивание, уменьшение (площадь $\times u^2$) и сдвиг; отображение Clifford не разлагается на простые преобразования.

После 12 шагов те же точки продолжают движение ещё несколько сотен шагов, а их попадания суммируются в яркость. Страница сравнивает нормированные числа их попаданий с плотностью длинной орбиты на грубой сетке внутри текущей видимой области и сообщает измеренную разницу. Малая разница — численное наблюдение при данном разрешении, а не доказательство того, что точки достигли аттрактора. Другие начальные области могут приближаться к другому аттрактору или уходить.

Вблизи седловой точки $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$ линеаризованное отображение на каждом шаге сжимает одно направление с коэффициентом $\mu_s \approx 0.156$. Режим «Погрузиться» использует обратную величину, примерно $1/\mu_s \approx 6.41$, для выбора последовательных увеличений вокруг P. Это позволяет сравнивать соседние слои на связанных масштабах. Мультипликатор описывает локальное устойчивое направление; он не доказывает, что вся картина повторяется при равномерном увеличении. Показанные слои — конечные численные выборки.

Размерность между 1 и 2 служит мерой слоистой структуры. Размерность Каплана — Йорка $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ для аттрактора Hénon составляет около 1.26, а подсчёт покрывающих ячеек на доступных компьютеру масштабах даёт примерно от 1.2 до 1.26. Это две разные оценки, обе численные.

Многие постеры с названием «странный аттрактор» используют отображения вроде Clifford, которые складывают плоскость вдоль кривых, где $\det J = 0$. Яркие нити лежат на образах этих складок — критических кривых: там накапливается плотность. Для параметров на этой странице $\lambda_1 > 0$, поэтому орбита хаотическая, но $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$, а подсчёт покрывающих ячеек даёт значение, близкое к 2, на вычисленных масштабах; эти числа не показывают слоистой структуры, хотя и не доказывают, что аттрактор заполняет область. Бывают также странные аттракторы, не являющиеся хаотическими (Гребоги и другие, 1984).

Компьютерное изображение не позволяет отличить странный аттрактор от цикла с очень большим периодом. Бенедикс и Карлесон (1991) доказали, что отображение Hénon имеет странные аттракторы для многих параметров вблизи $a = 2$ при малых $b$; для классических $a = 1.4,\ b = 0.3$ общепринятого доказательства нет. Мисюревич (1980) доказал существование странных аттракторов для отображения Lozi $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ в диапазоне параметров, включающем $(1.75,\, 0.3)$, но не собственные параметры Lozi $(1.7,\, 0.5)$. Такер (2002) доказал, что аттрактор Лоренца является странным. При $b = 0$ один шаг переводит все точки на прямую $y = 0$, где отображение Hénon имеет вид $x \to 1 - a x^2$; при $a > 0$ это логистическое отображение в других координатах ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Логистическое отображение
• WA01Аттрактор Лоренца
• WB01Множество Мандельброта

Дополнительные материалы: Википедия: Attractor (Английский); Википедия: Hénon map (Английский).