Atraktor aneh

Atraktor adalah himpunan yang terus didekati oleh orbit yang berawal di dekatnya, dan orbit itu tetap dekat dengannya; atraktor disebut aneh jika memiliki struktur fraktal, yang memperlihatkan detail baru pada setiap perbesaran. Sebagian penulis menggunakan istilah ini untuk semua atraktor kacau; di sini yang dimaksud adalah jenis yang fraktal. Halaman ini menggunakan perkiraan positif dari eksponen Lyapunov terbesar sebagai indikasi numerik kekacauan ( $\lambda_1 > 0$).

Setiap pemetaan pada halaman ini adalah aturan yang membawa setiap titik pada bidang ke titik baru, diterapkan berulang-ulang: waktu bersifat diskret, dan titik melompat pada setiap langkah. Gambar terang menunjukkan kerapatan jangka panjang, yaitu seberapa sering orbit panjang jatuh di setiap piksel: perkiraan statistik tentang bagaimana atraktor dikunjungi. Pendar dan warna hanya untuk tampilan.

Hénon (1976) membangun pemetaannya dari tiga gerakan: tekuk $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, pipihkan $(x, y) \to (b x,\, y)$, dan balik $(x, y) \to (y, x)$. Ketiganya menghasilkan $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. Gerakan tekuk dan balik mempertahankan luas; gerakan pipihkan mengalikannya dengan $|b|$. Jadi pada $b = 0.3$, luas setiap daerah menjadi tepat 0.3 kali semula pada setiap langkah, dan setelah 12 langkah tersisa $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$ dari luas awalnya, masih positif. Mengiterasi daerah perangkap tanpa batas menghasilkan himpunan limit dengan luas nol. Orbit yang berdekatan rata-rata saling menjauh secara eksponensial selama masih berdekatan ($\lambda_1 \approx 0.42$, secara numerik), sehingga suatu daerah berubah menjadi pita yang semakin panjang dan tipis, yang berulang kali melipat kembali ke dirinya sendiri: lapisan.

Lepaskan menampilkan 12 langkah pertama dari sepetak titik awal. Titik-titik dalam daerah tarikannya mendekati atraktor dalam jangka panjang, umumnya tanpa jatuh tepat padanya dalam sejumlah langkah berhingga, sehingga akhir dari 12 langkah bukan berarti sudah tiba; parameter degenerat adalah pengecualian: pada $u = 0$, pemetaan Ikeda membawa setiap titik ke titik tetapnya $(1,\ 0)$ dalam satu langkah. Tidak ada titik yang keluar dari segiempat Hénon pada $a = 1.4,\ b = 0.3$, karena bayangannya berada di dalamnya; dengan parameter lain, petak dapat menjangkau ke luar daerah yang tertarik, dan titik-titik itu lepas. Pemetaan Ikeda terurai menjadi pilin, susutkan (luas $\times u^2$), dan geser; pemetaan Clifford tidak terurai menjadi gerakan sederhana.

Setelah 12 langkah, titik-titik yang sama terus bergerak selama beberapa ratus langkah lagi, dan lokasi pendaratannya diakumulasikan menjadi kecerahan. Halaman ini membandingkan hitungan pendaratan yang telah dinormalisasi dengan kerapatan jangka panjang pada kisi kasar di dalam tampilan saat ini, lalu melaporkan selisih yang diukur. Selisih kecil adalah pengamatan numerik pada resolusi tersebut, bukan bukti bahwa titik-titik telah mencapai atraktor. Daerah awal lain dapat mendekati atraktor lain atau lepas.

Di dekat titik pelana $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$, pemetaan yang dilinearkan berkontraksi pada satu arah dengan faktor $\mu_s \approx 0.156$ per langkah. Selami menggunakan kebalikannya, sekitar $1/\mu_s \approx 6.41$, untuk memilih perbesaran berturut-turut di sekitar P. Ini memungkinkan Anda membandingkan lapisan yang berdekatan pada skala yang saling terkait. Pengali tersebut menggambarkan arah stabil lokal; ini tidak membuktikan bahwa seluruh gambar berulang ketika diperbesar secara seragam. Lapisan yang ditampilkan adalah sampel numerik berhingga.

Dimensi antara 1 dan 2 mengukur struktur lapisan. Dimensi Kaplan–Yorke $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ sekitar 1.26 untuk atraktor Hénon, dan penghitungan kotak pada skala yang dapat dicapai komputer menghasilkan sekitar 1.2 hingga 1.26. Keduanya adalah perkiraan yang berbeda, sama-sama numerik.

Banyak poster berjudul “atraktor aneh” menggunakan pemetaan seperti Clifford, yang melipat bidang sepanjang kurva tempat $\det J = 0$. Untaian terang terletak pada bayangan lipatan-lipatan itu, yaitu kurva kritis: kerapatan menumpuk di sana. Untuk parameter pada halaman ini, $\lambda_1 > 0$, sehingga orbitnya kacau, tetapi $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ dan penghitungan kotak mendekati 2 pada skala yang dihitung; angka-angka ini tidak menunjukkan struktur lapisan, meskipun tidak membuktikan bahwa atraktor mengisi suatu daerah. Ada pula atraktor aneh yang tidak kacau (Grebogi dan rekan-rekan, 1984).

Gambar komputer tidak dapat membedakan atraktor aneh dari siklus dengan periode yang sangat panjang. Benedicks dan Carleson (1991) membuktikan bahwa pemetaan Hénon memiliki atraktor aneh untuk banyak parameter di dekat $a = 2$ dengan $b$ kecil; untuk parameter klasik $a = 1.4,\ b = 0.3$, belum ada bukti yang diterima. Misiurewicz (1980) membuktikan adanya atraktor aneh untuk pemetaan Lozi $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ dalam rentang parameter yang mencakup $(1.75,\, 0.3)$, tetapi tidak mencakup parameter Lozi sendiri, $(1.7,\, 0.5)$. Tucker (2002) membuktikan bahwa atraktor Lorenz adalah atraktor aneh. Dengan $b = 0$, satu langkah menempatkan setiap titik pada garis $y = 0$, tempat pemetaan Hénon menjadi $x \to 1 - a x^2$; untuk $a > 0$, ini adalah pemetaan logistik dalam koordinat lain ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Pemetaan logistik
• WA01Atraktor Lorenz
• WB01Himpunan Mandelbrot

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Attractor (Bahasa Inggris); Wikipedia: Hénon map (Bahasa Inggris).