奇異吸引子

吸引子是一個集合：從它附近出發的軌道會越來越接近它，並保持接近；若它具有碎形結構，每次放大都能顯現新的細節，就稱為奇異吸引子。有些作者用這個詞泛指任何混沌吸引子；這裡則專指具有碎形結構的類型。本頁以最大Lyapunov指數的正估計值作為混沌的數值指標（$\lambda_1 > 0$）。

本頁每個映射都是將平面上的每個點送到新點的規則，並反覆套用：時間是離散的，每走一步，點就跳到下一個位置。明亮的圖像呈現長期密度，也就是長軌道落在各像素的頻率：這是對吸引子各處被造訪情況的統計估計。光暈與色彩僅為顯示效果。

Hénon（1976）以三個動作建立映射：彎曲$(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$、壓縮$(x, y) \to (b x,\, y)$與翻轉$(x, y) \to (y, x)$。合起來就得到$x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$。彎曲與翻轉保持面積不變；壓縮則將面積乘以$|b|$。因此，在$b = 0.3$時，每一步都將每個區域的面積精確變成原來的0.3倍，12步後剩下原來的$0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$，仍為正值。對捕獲區域無限次迭代，會得到面積為零的極限集合。相近的軌道在仍彼此接近時，平均以指數速率分離（$\lambda_1 \approx 0.42$，數值結果），因此一片區域會變成更長、更薄的帶狀，反覆折回自身，形成層次。

「釋放」呈現一片起始點的前12步。吸引域內的點會在長期演化中逼近吸引子，通常不會在有限步內落到它上面，因此12步結束並不代表已經抵達；退化參數是例外：在$u = 0$時，Ikeda映射一步就將所有點送到不動點$(1,\ 0)$。在$a = 1.4,\ b = 0.3$時，從Hénon的四邊形內出發的點都不會離開，因為四邊形的像位於其內部；在其他參數下，這片起始區域可能超出受吸引的範圍，超出的點便會逃逸。Ikeda映射可分解為扭轉、縮小（面積$\times u^2$）與平移；Clifford映射則無法分解成簡單的動作。

12步後，同一批點會繼續走幾百步，將各次落點累積成亮度。本頁在目前視野內的粗網格上，比較這些落點的正規化計數與長期密度，並報告測得的差異。差異很小，是在該解析度下的數值觀察，並非點已抵達吸引子的證明。其他起始區域可能逼近另一個吸引子，也可能逃逸。

在鞍點$P \approx (0.6314,\, 0.1894)$附近，線性化映射每一步都將一個方向收縮為原來的$\mu_s \approx 0.156$倍。「深入」使用它的倒數，約為$1/\mu_s \approx 6.41$，來選定以P為中心逐級放大的倍率。這讓你能在彼此相關的尺度下比較附近的層次。這個乘子描述的是局部穩定方向；它不能證明整幅圖形會在等比例縮放下重複。畫面顯示的層次是有限的數值樣本。

介於1與2之間的維度可衡量這種層狀結構。Hénon吸引子的Kaplan–Yorke維度$1 + \lambda_1/|\lambda_2|$約為1.26，而在電腦可達到的尺度下，以盒計數法得到的值約為1.2到1.26。這是兩種不同的估計，兩者都是數值結果。

許多以「奇異吸引子」為題的海報使用Clifford這類映射，沿著$\det J = 0$的曲線摺疊平面。明亮絲線位於這些摺疊的像，也就是臨界曲線上：密度在那裡累積。本頁的參數滿足$\lambda_1 > 0$，所以軌道呈現混沌，但$\lambda_1 + \lambda_2 > 0$，而且在所計算的尺度下，盒計數法所得的維度接近2；這些數值未顯示層狀結構，但也不能證明吸引子填滿一片區域。此外，也存在不呈現混沌的奇異吸引子（Grebogi等人，1984）。

電腦圖像無法區分奇異吸引子與週期極長的循環。Benedicks與Carleson（1991）證明，在$a = 2$附近、$b$很小的許多參數下，Hénon映射具有奇異吸引子；對於經典參數$a = 1.4,\ b = 0.3$，目前仍無公認的證明。Misiurewicz（1980）證明Lozi映射$x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$在某個參數範圍內具有奇異吸引子；這個範圍包含$(1.75,\, 0.3)$，卻不包含Lozi自己使用的$(1.7,\, 0.5)$。Tucker（2002）證明Lorenz吸引子也是奇異吸引子。在$b = 0$時，一步就將所有點送到直線$y = 0$上，Hénon映射在這條直線上為$x \to 1 - a x^2$；當$a > 0$時，這就是換了座標的邏輯斯諦映射（$a = r(r - 2)/4$，$r > 2$）。

• WA03邏輯斯諦映射
• WA01Lorenz 吸引子
• WB01Mandelbrot 集

延伸閱讀: 維基百科: Attractor (英文); 維基百科: Hénon map (英文).