الجاذب الغريب

الجاذب مجموعة تزداد المدارات التي تبدأ بالقرب منها اقترابًا منها وتبقى قريبة منها؛ ويُسمّى غريبًا عندما تكون له بنية كسيرية تُظهر تفاصيل جديدة عند كل تكبير. يستخدم بعض المؤلفين الكلمة لأي جاذب فوضوي؛ أما هنا فتعني النوع الكسيري. تستخدم الصفحة تقديرًا موجبًا لأكبر أسّ ليابونوف بوصفه مؤشرًا عدديًا على الفوضى ($\lambda_1 > 0$).

كل خريطة في هذه الصفحة قاعدة ترسل كل نقطة من المستوى إلى نقطة جديدة، وتُطبَّق مرارًا وتكرارًا: الزمن متقطّع، والنقطة تقفز في كل خطوة. تمثّل الصورة الساطعة كثافة طويلة الأمد، أي عدد مرات وقوع المدارات الطويلة في كل بكسل: تقديرًا إحصائيًا لكيفية زيارة الجاذب. التوهّج والألوان للعرض فقط.

بنى Hénon‏ (1976) خريطته من ثلاث حركات: ثني $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$، وضغط $(x, y) \to (b x,\, y)$، وقلب $(x, y) \to (y, x)$. تعطي هذه الحركات معًا $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. يحافظ الثني والقلب على المساحة؛ ويضربها الضغط في $|b|$. لذا عند $b = 0.3$ تصبح مساحة كل منطقة مساوية لـ 0.3 من مقدارها بالضبط في كل خطوة، وبعد 12 خطوة تصبح مساوية لـ $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$ من مساحتها الأصلية، وتظل موجبة. يعطي تكرار تطبيق الخريطة على منطقة الحصر إلى ما لا نهاية مجموعة حدّية مساحتها صفر. تتباعد المدارات المتجاورة تباعدًا أُسّيًا في المتوسط ما دامت متقاربة ($\lambda_1 \approx 0.42$، عدديًا)، فتتحوّل المنطقة إلى شريط أطول وأنحف ينطوي على نفسه مرارًا وتكرارًا: طبقات.

يعرض «إطلاق» أول 12 خطوة لرقعة من نقاط البداية. تقترب النقاط الموجودة في حوض الجاذب منه على المدى الطويل، عادةً من دون أن تقع عليه في عدد منتهٍ من الخطوات، لذا فنهاية الخطوات الـ 12 ليست وصولًا؛ وتُستثنى المعلمات المنحلّة: عند $u = 0$ ترسل خريطة Ikeda كل نقطة إلى نقطتها الثابتة $(1,\ 0)$ في خطوة واحدة. لا تغادر أي نقطة رباعي Hénon عند $a = 1.4,\ b = 0.3$، لأن صورته تقع داخله؛ ومع معلمات أخرى قد تمتد الرقعة إلى خارج المنطقة المنجذبة، فتفلت تلك النقاط. تنقسم خريطة Ikeda إلى ليّ، وتقليص (المساحة $\times u^2$)، وإزاحة؛ أما خريطة Clifford فلا تنقسم إلى حركات بسيطة.

بعد الخطوات الـ 12 تواصل النقاط نفسها الحركة لبضع مئات من الخطوات الإضافية، وتتجمّع مرات وقوعها في المواقع المختلفة لتنتج السطوع. تقارن الصفحة أعداد مرات الوقوع بعد تطبيعها بالكثافة الطويلة الأمد على شبكة خشنة داخل العرض الحالي، وتعرض الفرق المقاس. الفرق الصغير ملاحظة عددية عند تلك الدقة، وليس برهانًا على أن النقاط وصلت إلى الجاذب. قد تقترب مناطق بداية أخرى من جاذب آخر أو تفلت.

بالقرب من نقطة السرج $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$، يقلّص التقريب الخطي للخريطة أحد الاتجاهات بمعامل $\mu_s \approx 0.156$ في كل خطوة. يستخدم «غوص» المقلوب، نحو $1/\mu_s \approx 6.41$، لاختيار معاملات تكبير متتالية حول P. يتيح لك ذلك مقارنة الطبقات المتجاورة عند مقاييس مترابطة. يصف المضاعف الاتجاه المستقر المحلي؛ ولا يبرهن أن الصورة كلها تتكرّر عند التكبير المنتظم. الطبقات المعروضة عينات عددية منتهية.

يقيس بُعد بين 1 و2 البنية الطبقية. يبلغ بُعد Kaplan–Yorke‏ $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ نحو 1.26 لجاذب Hénon، ويعطي عدّ الصناديق عند المقاييس التي يبلغها الحاسوب نحو 1.2 إلى 1.26. هذان تقديران مختلفان، وكلاهما عددي.

تستخدم ملصقات كثيرة بعنوان «جاذب غريب» خرائط مثل خريطة Clifford، التي تطوي المستوى على طول المنحنيات التي عندها $\det J = 0$. تقع الخيوط الساطعة على صور تلك الطيات، أي المنحنيات الحرجة: تتراكم الكثافة هناك. عند معلمات هذه الصفحة يكون $\lambda_1 > 0$، لذا فالمدار فوضوي، لكن $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ ويعطي عدّ الصناديق قيمة قريبة من 2 عند المقاييس المحسوبة؛ لا تُظهر هذه الأعداد بنية طبقية، لكنها لا تبرهن أن الجاذب يملأ مساحة. توجد أيضًا جاذبات غريبة غير فوضوية (Grebogi وآخرون، 1984).

لا تستطيع صورة حاسوبية تمييز جاذب غريب من دورة ذات دور طويل جدًا. برهن Benedicks وCarleson‏ (1991) أن لخريطة Hénon جاذبات غريبة عند كثير من المعلمات القريبة من $a = 2$ مع $b$ صغير؛ أما القيم الكلاسيكية $a = 1.4,\ b = 0.3$ فلا يوجد لها برهان مقبول. برهن Misiurewicz‏ (1980) وجود جاذبات غريبة لخريطة Lozi‏ $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ في نطاق من المعلمات يتضمّن $(1.75,\, 0.3)$، لكنه لا يتضمّن قيم Lozi نفسه $(1.7,\, 0.5)$. وبرهن Tucker‏ (2002) أن جاذب Lorenz جاذب غريب. عند $b = 0$ تضع خطوة واحدة كل نقطة على المستقيم $y = 0$، حيث تكون خريطة Hénon هي $x \to 1 - a x^2$؛ وعند $a > 0$ تكون هذه هي الخريطة اللوجستية بإحداثيات أخرى ($a = r(r - 2)/4$، $r > 2$).

• WA03الخريطة اللوجستية
• WA01جاذب لورينز
• WB01مجموعة ماندلبرو

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Attractor (الإنجليزية); ويكيبيديا: Hénon map (الإنجليزية).